9.3. Параллельный перенос вектора

Тот факт, что тензор кривизны появляется в связи с вычислением второй ковариантной производной, служит нам той путеводной нитью, которая позволяет нам дать другую полезную геометрическую интерпретацию кривизны. Свойство некоммутативности вторых производных представляет собой предел разности векторов в том случае, если мы вначале перемещаем его вдоль оси затем вдоль оси или сначала вдоль оси , затем вдоль оси . Если координаты плоские, то для постоянного вектора нет отличий. Если мы имеем искривленное пространство и если мы делаем такие перемещения в различном порядке, то мы находим некоторый результирующий вектор. Значимость подобных рассмотрений для получения физических утверждений становится очевидной, когда мы осознаем, что мы не имеем физического способа определения "подлинно постоянного" векторного поля, за исключением того, чтобы сказать, что это такое векторное поле, чьи компоненты имеют нулевые производные в касательном пространстве.

Как кривизна появляется при рассмотрении переноса вектора, остающегося параллельным самому себе при перемещении его по поверхности, хорошо иллюстрируется в сферической геометрии. Мы будем представлять себе, что мы переносим маленький вектор с северного полюса по меридиану до экватора, затем вдоль экватора на угол в и возвращаем его назад на северный полюс, как показало на рис. 9.1, причем всегда переносим вектор таким образом, чтобы он оставался параллельным самому себе и был направлен на юг. Когда мы возвращаем вектор назад на северный полюс, мы видим, что наш вектор повернулся на угол 9. Кривизна К поверхности определяется через угол, на который вектор поворачивается в том случае, если мы рассматриваем перенос этого вектора вдоль инфинитезимальной замкнутой траектории.

Для поверхности

(9.3.1)

Для случая треугольника на сферической поверхности этот угол в точности есть превышение (над величиной 180°) суммы углов треугольника. Для сферической поверхности эта кривизна просто равна .

Обобщенное определение кривизны многомерной поверхности будет даваться через изменение вектора при его переносе вдоль замкнутой кривой, причем при таком переносе, который оставляет вектор параллельным самому себе. Так как ориентация траектории, лежащей на определенной плоскости, зависит от двух осей координат, то мы видим, что кривизна в общем случае является тензором четвертого ранга. В трехмерном пространстве мы могли бы разбить сферическую поверхность проведением "радиально" внешней части от точки для заданного измеренного расстояния вдоль наикратчайших измеренных траекторий (геодезических). Компоненты кривизны вдоль различных направлений должны бы соответствовать незначительному отклонению от длин больших кругов сферической поверхности.

Наглядное представление понятия кривизны на языке более простого пространства, погруженного в пространство с более высокой размерностью, требует введения одного дополнительного измерения для каждого независимого компонента метрического тензора. Для двумерных пространств имеется три компонента метрики, и отсюда следует, что достаточно трех измерений. Для трех измерений метрический тензор имеет шесть независимых компонентов и для четырех измерений имеется десять независимых компонентов.

Определение компонентов кривизны на языке изменения вектора при переносе его вдоль траектории является более общим, чем определение через дефекты в окружностях, которое не воспроизводит все признаки кривизны.

Связь со второй ковариантной производной может быть легко вычислена, когда мы рассматриваем последовательные перемещения вектора, сохраняя его параллельным самому себе. Так как мы проходим вдоль траектории на рис. 9.2, разность в этом векторе, получающаяся при прохождении вдоль этой траектории, должна быть

(9.3.2)

Так как кривизна есть тензор, антисимметричный по индексам , билинейные произведения могут быть заменены на величину которые являются половиной компонентов площади параллелограмма.

Рис. 9.2.

Индексы тензоров имеют значение, которое нетрудно описать словесно; если мы рассматриваем перемещение векторов вдоль небольшой петли в плоскости компонент вектора меняется на величину, пропорциональную сумме по другим компонентам и площади петли.

Мы уже очень много говорили о перемещении вектора параллельно самому себе, не делая это понятие математически определенным. При использовании более интуитивных терминов, это просто означает, что мы переносим конец стрелки и основание стрелки на некоторое равное смещение так близко, как только мы можем вдоль прямой линии, которая есть геодезическая. Математическое определение может быть наилучшим образом понято путем рассмотрения уравнения геодезических

Ясно, что вектор вдоль геодезической представляет тангенциальную скорость вдоль геодезической, которая есть "физическая" прямая линия. Вторая производная представляет собой изменение этой скорости за интервал времени

(9.3.4)

Это изменение пропорционально самому вектору и перемещениям . Определение параллельного переноса аналогично; мы говорим, что вектор есть результат переноса параллельно самому себе

Рис. 9.3.

где

(9.3.5)

Легко может быть показано, что когда мы перемещаем множество векторов вдоль замкнутой кривой, перемещая каждый из них параллельно самому себе, соотношения между векторами не меняется, тале что целое пространство, определенное множеством векторов, поворачивается при движении вдоль петли, это задает полное изменение, вызванное перемещениями. Доказательство этого утверждения состоит в проверке того, что все инвариантные скаляры

(9.3.6)

остаются неизменными. Это означает, что длины векторов и углы между векторами сохраняются. Единственное преобразование, которое допускает это, выглядит как поворот целого пространства.

Возможно, что топологические свойства пространства не полностью определяются локальной кривизной. Например, мы получили, что длины векторов сохраняются и углы между векторами сохраняются, когда мы переносим пространство параллельно самому себе. Все же нет гарантии, что для длинной замкнутой траектории отражение недопустимо, также как и вращение. Двумерный пример таких отражений (например, неориентируемая поверхность) имеет место в ленте Мебиуса (рис. 9.3). Если мы возьмем два вектора, один из которых параллелен, другой перпендикулярен центральной линии ленты Мебиуса, и обойдем один раз ленту, двигаясь налево от вертикальной пунктирной линии, показанной рис. 9.3, то пространство не переходит само в себя, а испытывает отражение, обусловленное "скрученностью" поверхности, а не просто поворот.

Теперь, когда мы определили такое понятие, как перенос вектора параллельно самому себе, мы можем получить важную формулу для тензора кривизны при движении по траектории ABCD на рис. 9.2. Разности в векторах при каждом инфинитезимальном перемещении задаются символами Кристоффеля Г.

Но так как эти разности не являются в точности теми же самыми вдоль (АВ) и (CD), и даже, если бы эти перемещения были бы противоположны одно другому, вектор не вернулся бы к своей исходной величине. Мы можем понять, каким образом символы Кристоффеля оказываются вовлечены в доказательство этого факта. Выполняя алгебраические преобразования, приходим к соотношению (9.2.14).

Можно показать, что тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бианки

(9.3.7)

Сейчас без подготовки я не стал бы говорить о геометрическом значении тождества Бианки. Имеется обычное уравнение электродинамики, которое может быть записано в виде, идентичном виду тождества Бианки, за исключением числа измерений. Тензор поля задается через векторный потенциал следующим соотношением:

(9.3.8)

другими словами F - ротор некоторого вектора. Но свойства содержащиеся в утверждении, что есть ротор, эквивалентным образом также хорошо описываются тождеством

(9.3.9)

которое имеет вид, похожий на тождество Бианки. Свойства ротора могут быть связаны с криволинейным интегралом, если мы используем теорему Стокса

(9.3.10)

где интеграл в правой части соотношения представляет собой поверхностный интеграл по любой поверхности, ограниченной замкнутой кривой Г.

Для случая гравитации аналогия может быть следующая: криволинейный интеграл представляет изменение вектора, когда мы перемещаем его, оставляя параллельным самому себе, вдоль замкнутой кривой Г. Такое общее изменение возможно связывается с интегралом по любой двумерной гиперповерхности, ограниченной кривой Г.

Рис. 9.4.

Доказательство такого утверждения может быть получено по аналогии с доказательством теоремы Стокса, в котором рассматривается разделение конечной поверхности инфинитезимальной сеткой, например, как показано на рис. 9.4; показывается, что сумма вкладов от любой инфинитезимальной сетки равна криволинейному интегралу. Когда рассматривается аналогия для этой ситуации в пространстве более высоких размерностей, то мы можем лучше понять значение тождества Бианки для описания сущности кривизны пространства.