2.4. Обмен двумя нейтрино

Может быть мы все еще можем получить теорию гравитации путем обмена двух нейтрино, так что они могут иметь диагональные расчетные элементы. Нет ясного пути, идя по которому, можно увидеть, почему энергия взаимодействия между двумя большими объектами должна была бы быть в точности пропорциональна их массам, хотя очевидно, что она была бы, по крайней мере, грубо пропорциональна числу частиц в каждом из них. Оставляя в стороне это обстоятельство (или возвращаясь назад, если что-либо работает не так, как следует), мы будем говорить, что взаимодействие двух объектов пропорционально произведению шгтг, умноженному на взаимодействие одной пары частиц. Мы продвигаемся много дальше, чем в предыдущем случае, но делаем это несколько более аккуратно, поскольку результаты более интересные.

Амплитуда того, что испускается пара нейтрино за время dt, есть Амплитуда того, что одно нейтрино испускается из одной точки в другую равна . Мы введем массы взаимодействующих частиц говоря, что эти массы должны представлять общее число частиц так, что энергия между двумя массами равна

Этот интеграл может быть весьма легко взят, либо вычислением вычетов в полюсах или простым дифференцированием интеграла (2.3.1), так что энергия равна

(2.4.2)

где r расстояние, разделяющее частицы. Таким образом, мы обнаруживаем, что обмен двумя нейтрино приводит значение энергии, которое неправильно зависит от расстояния. Это заключение приводит к выводу, что теория выглядит безнадежно. Но надежда возникает вновь, если мы анализируем ситуацию несколько дальше. Оказывается, что мы можем получить член, который зависит как 1/r, рассмотрением обмена между тремя массами. Три частицы могут обмениваться двумя нейтрино между любыми из трех пар и новым способом (рис. 2.5). Положим, что первое испускание имело место при t = 0, а другие вершины имели место в моменты времени t и s. Тогда во взаимодействие вовлечена была бы энергия

Этот интеграл может быть вычислен последовательным интегрированием в каждом из полюсов и результат равен

(2.4.4)

Если одна из масс, скажем масса номер 3, существенно удалена, так что много больше, чем то мы, действительно, получаем, что взаимодействие между массами номер 1 и номер 2 обратно пропорционально величине г.

Что же такое масса . Это, очевидно, может быть некоторая эффективная средняя величина по всем другим массам во вселенной.

Рис. 2.6.

Влияние удаленных масс, сферически распределенных вокруг масс 1 и 2, проявилось бы как интеграл по средней плотности; мы бы имели

где R - большое значение расстояния . Для простой оценки мы можем взять плотность, равной константе внутри сферы; мы выполним интегрирование от некоторого начального значения радиуса, которое, тем не менее, достаточно большое по сравнению со значением . Вклад всех масс вне сферы с этим минимальным значением радиуса является чем-то типа

(2.4.6)

Этот логарифм является некоторой величиной, которая не может быть многим больше, чем 50 или 100, так как характерное значение внешнего радиуса может быть равно световых лет см. Такая энергия действует подобно гравитация; можем ли мы опровергнуть это? Да, и двумя способами. Во-первых, величина этого логарифмического члена становится сравнимой с величиной всей силы (2.4.2), пропорциональной на расстояниях больших, чем те, на которых ньютоновский закон гравитации уже проверен. Более того, если мы рассматриваем влияние Солнца на гравитационное взаимодействие между Землей и Луной, мы обнаруживаем, что это влияние должно было бы приводить к наблюдаемым отклонениям в орбитальном движении, так как расстояние от Земли до Солнца меняется при движении Земли вдоль своей орбиты. Мы оцениваем этот эффект следующим образом. Мы хотим сравнить вклац Солнца во взаимодействие Земля - Луна со вкладом всех остальных звезд. Это влияние зависит от массы и обратно пропорционально кубу расстояния. Для логарифма меньшего, чем 1000, вклад Солнца превосходит в вклад звезд для любой разумной оценки плотности звезд!

Рис. 2.7.

Таким образом, мы можем пренебречь вкладом звезд. Но таких больших возмущений, которые бы соответствовали изменению эффективной гравитационной константы, которое бы возникало от ±2 процентной вариации расстояния между Землей и Солнцем, не наблюдалось в системе Земля - Луна.

Но можно ли все-таки спасти эту теорию? Представляется, что процессы более высокого порядка могли бы снять эти трудности, например процесс, включающий 4 нейтринных линии или даже более высокие порядки, мог бы быть вычислен. Ясно, что член, изображенный на рис. 2.6, мог бы дать вклад порядка т.е. квадрата числа частиц окружающих масс, и, следовательно, влияние удаленной туманности могло бы значительно превзойти влияние Солнца. Этот факт мог бы быть еще более справедливым для более высоких порядков теории. Мы должны, следовательно, суммировать диаграммы различных порядков, типа изображенных на рис. 2.7.

Тем не менее, насколько я могу судить из статистики Ферми, члены различных порядков оказываются противоположными по знаку и никакого удовлетворительного результата не получается.

Чтобы объяснить эту идею более формально, мы полагаем, что в теории (где есть, скажем, скаляр ) с квадратичной связью математическое ожидание для произведения двух полевых переменных в состоянии при наличии многих туманностей может определяться соотношением

(2.4.7)

где первый член есть обычный вакуумный член, а С возникает от взаимодействия с удаленной туманностью. Величина С практически не зависит от 1 и 2, если они (1 и 2) близки по сравнению с радиусом вселенной.

Тем не менее, я думаю, что для спина 1/2 не может возникать С. Для фотонов такой член, даже если он возникает, не имел бы желаемого эффекта, т.к. насколько я могу видеть, этот член не является квадратичным для связи фотонов.

Итак, теория с двойной нейтринной парой не привела к плодотворному результату. Однако, мы научились кое-чему, работая с этой теорией от начала до конца, что представляет собой весьма замечательную идею. Если мы построим теорию гравитации, основанную на взаимодействии трех тел, в которой одно тело достаточно далеко удалено от других двух тел, закон 1/r будет выполняться, если квант поля имеет целый спин, и величина потенциала будет пропорциональна количеству вещества в удаленном теле. Эти туманности, которые до сих пор не влияли на наши физические законы, могут играть важную роль в гравитационном взаимодействии!

Тем не менее, для того, чтобы построить такую теорию, мы должны были бы предположить существование бозона с нулевой массой, который взаимодействует квадратично со всей остальной материей во вселенной, и должны были бы вернуться к вопросу, почему сила в точности пропорциональна массе. Но кажется, что нет смысла следовать по такому извилистому пути, когда мы не достигли цели с использованием известных частиц. Если предположить существование новой частицы, мы можем построить абсолютно хорошую теорию, предполагая существование частицы с нулевой массой и со спином 2, которая взаимодействует линейно с веществом.