8.2. Уравнения, определяющие инварианты

Теперь, когда у нас есть лучшее понимание роли метрического тензора, мы можем приступить к изучению того, какие величины могут быть построены из него, причем величины, остающиеся инвариантными при инфинитезимальных координатных преобразованиях.

То, что мы собираемся сделать сейчас, в точности совпадает с тем, что мы делали некоторое время назад при построении лагранжиана. Предположим, что мы делаем небольшое изменение в координатах

(8.2.1)

где предполагается, что достаточно малы, так что нам необходимо сохранять только члены первого порядка малости по . Тогда для производных справедливы следующие соотношения

Когда мы вычисляем новые компоненты мы получаем произведение двух таких производных

(8.2.3)

Если мы оставляем только члены нулевого порядка и первого порядка малости по то получаем

(8.2.4)

Новые компоненты равны старым компонентам плюс некоторые члены порядка Когда теперь мы спрашиваем, какие функции ди допускаются, если настаиваем, чтобы их форма осталась инвариантной, мы видим, что мы приходим к той же самой задаче, которую решили в лекции 6. Математическая задача является той же самой как и тогда, когда мы пытались найти лагранжиан, который приводил к сохраняющемуся тензору энергии-импульса.

Таким образом, имеется более чем одна точка зрения, которая приводит к одному и тому же уравнению и которая имеет то же самое физическое содержание. Мы обнаружили, что преобразование, которое возникло тогда, когда мы искали лагранжиан для гравитации, появляется также в решении чисто геометрической задачи. Мы предполагаем, следовательно, что некоторые физические и геометрически звучащие критерии эквивалентны; самосогласованность предыдущего подхода, к которому мы пришли, исходя из требования равной нулю дивергенции, должна быть эквивалентна тому условию, которое мы накладываем сейчас. В чем состоит физическая значимость инвариантов

Уравнения движения могут быть выведены из вариационного принципа

(8.2.5)

Эти вычисления могут быть проведены до конца путем введения параметра и, так что квадратный корень под интегралом становится более точно определенной величиной

(8.2.6)

Когда решение вариационной задачи проведено до конца, получается следующее уравнение геодезических

(8.2.7)

где

Так как вид этого уравнения остается неизменным при изменении метрического тензора при произвольном преобразовании, то эти уравнения должны быть инвариантами метрики которая содержит в себе физику данной проблемы.