7.4. Собственное время в общих координатах

Для того, чтобы получить формулу Эйнштейна для мы должны рассмотреть системы отсчета, которые не только ускоряются, но также находятся под действием сил, которые искажают их форму произвольным образом. Мы хотим получить общую формулу для координат, которая аналогична определению координатных систем, вращающихся друг относительно друга

(7.4.1)

Мы описываем ускорение общего вида и растяжение произвольного вида, устанавливая, как каждая из четырех координат одной системы зависит от всех координат другой системы

(7.4.2)

Рассмотрим вначале ситуацию, которая возникает, когда .

В этом случае мы знаем, что собственное время в нескрученной системе есть просто (здесь мы положим )

(7.4.3)

Для того, чтобы описать собственное время в штрихованных координатах, мы просто переписываем дифференциалы следующим образом:

(7.4.4)

Это определяет метрический тензор который содержит описание длины дуги в произвольным образом скрученной и ускоренной системе

(7.4.5)

Заметим, что представляет десять функций координат так как имеется десять билинейных произведений Метрический тензор - симметричен. Как только мы имеем эти десять функций точно определенными, то нахождение траекторий, для которых собственное время достигает максимума, должно будет представлять собой чисто математическое упражнение.

Что же происходит, когда гравитация не равна нулю? В простом случае, который мы рассматривали в предыдущем разделе, мы нашли, что собственное время задается чем-то вроде следующего соотношения

(7.4.6)

Это выражение только слегка отличается от случая, когда гравитационное поле равно нулю. Именно Эйнштейну принадлежала идея о том, что полное описание гравитации могло бы быть всегда определено метрическим тензором таким как

(7.4.7)

Случай нулевого поля соответствует частной простой форме для метрического тензора дар — . При изменении координатной системы новый метрический тензор задается соотношением:

Как и ранее, движение частиц задается требованием, чтобы собственное время достигало максимального значения на траектории движения. Если возможно, используя некоторый разумный способ выбора преобразований, привести тензор к виду тогда мы можем сделать заключение, что гравитационного поля нет и что также нет и ускорения.

Но это не может быть сделано в общем случае, так как общий тензор представляет десять предположительно независимых функций, и только четыре функции могут быть точно определены при преобразовании координат (7.4.2). Только при очень специфических условиях ускорения могут устранить все недиагональные члены всюду и привести этот тензор к виду . Если же на самом деле имеется некоторое вещество в окружающей среде, приведение этого тензора к виду невозможно. В этом случае все возможные тензоры связываемые соотношениями (7.4.8), будут эквивалентны, так как ни один из них не приводит к очень простым выражениям для

Каковы же наши успехи в изучении характера описания гравитационных сил? В ньютоновской теории соответствующее положение есть утверждение, что сила задается градиентом скалярной функции

Вторая часть теории соответствует точному определению того, как потенциалы связаны с веществом. В ньютоновской теории мы имеем

(7.4.10)

В конце концов мы придем к точному определению тензора двыраженному через характеристики вещества. Основная идея состоит в том, что поскольку материя есть физическая категория, в то время как системы координат нет, вещество должно быть описано таким образом, чтобы результаты решения уравнения движения не зависели от какого-либо специального выбора системы координат, тем самым ожидается, что имеющие физический смысл свойства тензора должны быть инвариантными величинами при произвольных преобразованиях.