3.2. Амплитуды и поляризации в электродинамике, типичной полевой теории

Сейчас наша программа состоит в том, чтобы построить теорию со спином гравитона 2 по аналогии с другими теориями поля, которые у нас есть. В этом месте мы могли бы перейти на взгляд Эйнштейна на теорию гравитации, так как он получил правильную теорию, но будет более поучительно и проще для нас изучить свойства теории, если мы поддерживаем фантазию венерианских ученых для того, чтобы предположить свойства правильной теории. Поэтому, предполагая, что многие ученые сегодня могут придти к правильной теории гравитации, мы отнюдь не умаляем достижение Эйнштейна. В настоящее время у нас есть ретроспективный, хорошо развитый формализм, которого не было пятьдесят лет назад, и у нас есть указание Эйнштейна на правильное направление теории. Очень трудно представить себе, чтобы мы делали, если бы мы не знали того, что мы знаем, когда мы знаем то, что знаем, но давайте продвинемся дальше и сделаем предположения о правильной теории по аналогии с электродинамикой.

В теориях со скалярным, векторным и тензорным полями (другой способ обозначения спина 0, 1, 2) поля описываются скалярной, векторной или тензорной потенциальными функциями

Рис. 3.2.

Другая теория могла бы следовать из предположения, что тензор - антисимметричный; это не привело бы к чему-то, напоминающему гравитацию, скорее к теории, напоминающей электромагнетизм; шесть независимых компонент антисимметричного тензора могли появиться как два пространственных вектора.

Источник электромагнетизма - векторный ток который связывается с векторным потенциалом уравнением

(3.2.1)

Сделаем преобразование Фурье и используем импульсное представление. Оператор Даламбера в импульсном представлении есть просто . Вычисление амплитуд в электромагнетизме делается с помощью пропагаторов, связывающих токи, способом, изображенным диаграммами, такими, как на рис. 3.2. Вычислим амплитуды для таких процессов как функцию релятивистских инвариантов, и ограничим наш ответ, как предписывается законами сохранения импульса и энергии. Суть электромагнетизма состоит в детальном описании взаимодействия между током и полем, т.е. на языке источников это становится взаимодействие между двумя токами

Координатные оси могут быть выбраны таким образом, что вектор может быть выражен как

(3.2.3)

Заметим, что мы используем упорядочение индекса 4, 3, 2, 1 так, что

(3.2.4)

Тогда ток-ток взаимодействие, когда незаряженные частицы имеют 4-импульс задается соотношением

Закон сохранения заряда, который утверждает, что четыре-дивергенция тока равна нулю, в пространстве импульсов становится ограничением

(3.2.6)

В этой специальной системе координат, которую мы выбрали, это ограничение связывает третий и четвертый компонент этих токов соотношениями

(3.2.7)

Если мы подставляем выражение для в выражение амплитуды (3.2.5), мы получаем, что

Теперь мы можем дать интерпретацию двум членам этого уравнения. Четвертый компонент тока есть просто плотность заряда; в этой ситуации, когда у нас есть стационарные заряды, это единственный ненулевой компонент. Первый член не зависит от частоты, и когда мы делаем обратное преобразование Фурье для того, чтобы преобразовать выражение в пространство взаимодействия, мы находим, что полученное соотношение представляет мгновенно действующий кулоновский потенциал

Это выражение всегда представляет собой главный член в пределе малых скоростей. Этот член кажется мгновенным, но это только потому, что разделение на два члена, которое мы сделали, очевидно, не является ковариантным. Общее взаимодействие на самом деле ковариантная величина; второй член представляет поправки к мгновенному кулоновскому взаимодействию.

Во взаимодействие между двумя токами всегда вовлечены виртуальные фотоны. Мы можем узнать кое-что о свойствах реальных фотонов из анализа полюсов амплитуды взаимодействия, которая имеет место при . Конечно, любой фотон, который участвует в физическом эффекте, может рассматриваться как виртуальный фотон, так как он не наблюдается до тех пор, пока не произойдет взаимодействие, так что наблюдаемые фотоны никогда не характеризуются соотношением . Тем не менее, нет трудностей в приближении к этому пределу; физически мы знаем фотоны, которые приходят от Луны или Солнца, для которых относительная разница между величинами очень, очень мала.

Если мы полагаем, что мы наблюдаем фотоны от удаленных галактик, которые находятся от наблюдателя на расстоянии в миллионы световых лет, мы понимаем, что это должно придать тот физический смысл, чтобы думать, что мы близки к полюсу так, что для этих фотонов не может быть никакого физического эффекта не являющимся похожим на полюсный член. Вычет полюсного члена при есть сумма двух членов, каждый из которых есть произведение двух множителей. Кажется, что существует один тип фотонов, которые взаимодействуют с токами и другой тип фотонов, которые взаимодействуют с токами Пользуясь обычным языком, мы описываем данную ситуацию, говоря, что имеются две независимые поляризации для фотонов.

Круговая поляризация есть ничто иное, как линейные комбинации плоскополяризованных фотонов, соответствующих разделению суммы произведений в различном базисе, таким образом мы имеем

(3.2.10)

По-прежнему, мы видим здесь, что имеется два типа фотонов. Преимущество такого разделения становится очевидным, когда мы рассматриваем вращение координатной системы вокруг направления движения фотона 3. Фотоны с круговой поляризацией вращаются вокруг себя, потому что они меняют только фазу при повороте системы координат на угол 9; эти фазы равны

Квантово-механические правила, описывающие поведение систем под действием вращения, говорят нам, что системы, имеющие такое свойство, находятся в состоянии с определенным значением углового момента; фотоны, которые меняют фазу как имеют проекцию углового момента 1, а фотоны с изменением фазы - проекцию, которая равна —1.

Мы могли бы ожидать, что если фотоны имеют спин, равный 1, то мог бы существовать третий тип фотонов, имеющих проекцию спина, равную 0. Тем не менее, может быть показано, что для релятивистской теории частиц с нулевой массой покоя разрешены только два состояния проекции, имеющие максимальное и минимальное значения проекции вдоль направления распространения. Этот общий результат, справедливый для частиц с любым спином, был доказан Вигнером. Мы не будем приводить здесь это доказательство, но просто для тех случаев, которые нас интересуют, фотона сейчас и гравитона ниже, покажем существование этих двух состояний точным разделением этого взаимодействия.

Можно было бы возразить, что мы показали существование двух состояний для токов, которые являются операторами источника в большей степени, чем для самих фотонов. Но одно влечет за собой другое, так как амплитуда процесса испускания фотон с круговой поляризацией — 1 задается оператором тока и т.д. Если мы вращаем систему координат, то амплитуда для процесса излучения не должна бы меняться, так что, мы приходим к требованию соответствующего изменения фазы для самих фотонов. Действительная поляризация фотонов, возможно, наилучшим образом определяется проекциями векторного потенциала в выделенных направлениях, таких как ( - единичный вектор). Взаимодействие такого фотона с током т.е. амплитуда поглощения или испускания такого фотона задается соотношением

(3.2.11)