11.2. О связи между материей и кривизной
Именно тензоры, которые выводятся из тензора кривизны, связаны с тензором энергии-импульса. Комбинации, включающие в себя тензор кривизны и необходимые нам в дальнейшем, есть следующие
Компоненты тензора имеют довольно простые выражения через суммы элементов 
Например, диагональное элементы есть
(11.2.2)
Другими словами, каждый из этих компонентов включает в себя сумму по таким элементам 
в индексы которые не включен диагональный индекс. Для недиагональных элементов мы также получаем очень простые выражения. Например,
(11.2.3)
и по аналогии с этими компонентами мы можем легко записать соответствующие выражения для других компонентов.
Простота выражений рассмотренных сумм может навести нас на мысль об интерпретации кривизны через характеристики распределения вещества. Мы ранее обсудили кривизну двумерной поверхности через относительное изменение длины окружности или площади круга по отношению к их величинам в плоском пространстве через измеренную величину их радиуса:
(11.2.4)
где К - коэффициент.
Для трехмерного мира изменение длины окружностей зависит от плоскости, на которой рисуются круги, о которых идет речь, но можно определить среднюю кривизну посредством измерения отличия от 
площади сферы радиуса 
. Получаемый результат должен быть следующим
где R - скаляр, получаемый двойной сверткой тензора кривизны.
Связь этой идеи с теорией гравитации может быть получена, если мы попытаемся придать концептуальное значение сумме 
что есть компонент тензора 
который равен компоненту 44 тензора энергии-импульса.
Эта сумма есть в точности то, что мы должны называть средней кривизной трехмерного пространства, которое перпендикулярно оси времени. Таким образом, мы можем дать словесную интерпретацию теории гравитации следующим образом: рассмотрим небольшую трехмерную сферу с заданной площадью поверхности. Ее действительный радиус превышает радиус, вычисляемый в евклидовой геометрии 
на величину, которая пропорциональна количеству вещества внутри этой сферы 
(один ферми на 4 миллиарда метрических тонн).
Эта интерпретация используется прямо для компонента 44, который есть плотность вещества (или энергии) для вещества внутри этой сферы. Другие компоненты тензора кривизны правильно выводятся, когда мы требуем, чтобы один и тот же результат получался в любой координатной системе независимо от ее скорости.
