6.2. Формулировка теории, справедливой во всех порядках

Мы достаточно преуспели в нашей задаче, которую мы поставили перед собой в самом начале, построить полевую теорию гравитации по аналогии с другими хорошо известными полевыми теориями, которые бы адекватно описывали все известные характеристики феномена гравитации. Таким образом, наша воображаемая венерианская точка зрения оказалась плодотворной.

Имеются некоторые слабые места в нашей теории; мы могли бы представить себе, что самые трудолюбивые венерианские теоретики могли бы не удовлетвориться теорией, в которой оставлены неопределенными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованной в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.

В физических теориях подчас возникает такая ситуация, что хотя поправки более высокого порядка в полном разложении удручающе скучно вычислять, возможно построить теорию, в которой суммируются все поправки более высокого порядка, для того, чтобы получить ответ, который является достижимым. Таким образом, представим себе честолюбивого и самоуверенного венерианина, который решил сделать попытку вывести полное разложение для функции . Мы будем искать функционал F, описывающий действие, которое должно быть провариировано, по следующим эмпирическим причинам: по-видимому, не существует достаточно удовлетворительной теории, которая не является выводимой с использованием вариационного принципа, первый этап применения которого заключается в выписывании функционала, связанного с лагранжианом или гамильтонианом (обе формулировки являются эквивалентными).

В настоящее время нет определенности относительно того, отражают ли неуспехи нелагранжевых теорий некоторую фундаментальную истину о природе. Возможно, что фундаментальная истина может быть в том, что физические процессы происходят согласно принципу минимальной фазы и что действия в классической физике или квантовой физике есть выражения для этой фазы, которые верны в некотором приближении. Амбициозная попытка облечь гравитацию в нелагранжеву формулировку была сделана Бирхгоффом [Birk 43]. Он сохранил линейные уравнения для полей, но изменил уравнения движения для частиц. Полученная в результате классическая теория была совершенно удовлетворительна, но она не позволяла непротиворечивого квантования. Было показано, что волновое движение волновых пакетов не следует постулированным классическим уравнениям, но следует уравнениям Эйнштейна! Кажется вероятным, что эта попытка квантования открыла некоторую скрытую несогласованность в этих полевых уравнениях.

Следовательно, мы будем искать полный функционал

(6.2.1)

Который определяется из требования того, что результирующее уравнение есть уравнение движения

(6.2.2)

которое автоматически имеет следствием условие на дивергенцию (6.1.9). Функционал F должен, следовательно, удовлетворять следующему дифференциальному функциональному уравнению:

(6.2.3)

которое мы должны решить. Это в общем случае представляет чрезвычайно трудную задачу, и нет процедуры для получения решений таких уравнений. Мы должны будем положиться на нашу изобретательность в придумывании функционалов, которые есть решения в том смысле, что они удовлетворяют уравнению (6.2.2) при подстановке в него. Нет единственного общего решения этого уравнения, даже если мы добавим, что для малого значения h мы будем выбирать такое решение, главные члены которого выводятся нами другими методами. Тем не менее, имеется очевидное "наипростейшее" решение (включающее наименьшее число производных метрического тензора - только две производных). Мы выбираем это решение. Когда этот выбор сделан, мы придем к теории, которая идентична эйнштейновской. С этого места мы откажемся от венерианской точки зрения и приступим к изучению теории гравитации с земной точки зрения, которая была изложена Эйнштейном.