11.3. Метрика Шварцшильда, поле вне сферической звезды

Выражения для компонентов тензора и через функции v и А являются следующими

(11.3.1)

Только выражение для компонента является громоздким, но так происходит, что его точное выражение редко бывает необходимо использовать.

Важное положение состоит в том, что дивергенция этого тензора должна быть равна нулю. Если мы имеем выражение для других компонентов, то требование обращения в нуль дивергенции часто помогает избежать использования точного выражения для .

В этом месте могут быть предложены следующие упражнения.

1) Доказать, что если нет материи внутри сферы радиуса b и распределение материи вне этой сферы является сферически симметричным, то пространство внутри сферы - плоское с метрикой .

2) Доказать, что если тензор энергии-импульса известен всюду внутри сферы радиуса то каким бы он ни был вне этой сферы, это не повлияет на физику внутри сферы радиуса (Предполагается, что вне этой сферы тензор энергии-импульса характеризуется сферически симметричным распределением.)

Решение вне сферически симметричного распределения массы получается, если мы положим решим получившиеся дифференциальные уравнения.

Мы начнем с того, что заметим, что зависит только от А. Так как равен нулю, то мы получаем

(11.3.2)

Множитель 2 взят для удобства, так что постоянная величина есть полная масса звезды, умноженная на ньютоновскую гравитационную постоянную. Если внутри сферы радиуса , где находится вся масса, нет особенностей, то постоянная должна быть равна

(11.3.3)

Мы уверены, что зависимость от времени отсутствует, поскольку

так что А вообще не зависит от времени. Последняя задача состоит в том, чтобы получить выражение для . Мы делаем это, приравнивая так как обе эти величины равны нулю. Отсюда приходим к выводу, что

Которое может происходить только в том случае, если функция v имеет следующий вид:

(11.3.5)

где - произвольная функция времени. Тем не менее, так как функция v появляется в коэффициенте при величине в метрике следующим образом:

мы можем исключить множитель изменяя масштаб временной координаты. Другие элементы метрического тензора не изменяются при такой замене, так как в них включена только функция . Полученный результат известен как метрика Шварцшильда

(11.3.6)

Интересно, что полученная метрика не зависит от времени, хотя мы никогда не говорили о том, что мы ищем статическое решение. Отсутствие зависимости от времени метрики Шварцшильда следует из предположения о сферической симметрии и того, что мы рассматриваем метрику в области с нулевой плотностью давления.

Для случая реальной звезды такой, как Солнце, точной сферической симметрии нет, поскольку имеется вращение и поскольку имеется утолщение () на экваторе. Тем не менее, эти отличия вызывают лить небольшие отклонения от случая сферической симметрии. Если имеется световой поток от звезды, то будут появляться другие поправки, поскольку плотность энергии не будет равной нулю в пространстве вне звезды. Тем не менее, решение Шварцшильда достаточно точно описывает ситуацию с Солнцем, так что прецессия перигелия Меркурия задается правильно в пределах ошибок измерения.