5.4. Принцип Маха в квантовой механике

Утверждение принципа Маха для квантовой теории включает в себя новые эффекты, так как мы не можем говорить о прямолинейных траекториях; мы увидим, что надлежащее утверждение включает в себя до некоторой степени развитие понятия "время".

У Маха была проблема, связанная с тем, как частица "знает", что она ускоряется. Мах думал, что это обусловлено влиянием распределения удаленных масс, таким влиянием, что ускорение относительно них требует силы.

Рис. 5.1.

Рис. 5.2.

С появлением квантовой механики новый "абсолют" стал определимым; абсолютный масштаб длины или времени. атомов водорода при нулевой энергии в кубе имеют как раз некоторый определенный абсолютный размер, молекула вращается с определенным временем между циклами. В вакууме два одинаковых фотона, сталкивающихся друг с другом, не делают ничего особенного до тех пор, пока длина волны не станет меньше, чем см, когда могут быть образованы пары электронов. Как фотоны "знают", каковы их длины волн в абсолютных единица с тем, чтобы решить, образовывать ли им пары? Каждый объем пространства должен содержать естественную меру размера (или времени).

Принимая философию Маха, мы могли бы сказать, что вышесказанное есть нонсенс, что размер не есть абсолют, если нет ничего, с чем можно было бы его сравнить. Это могло бы быть влияние "туманностей", которое определяет масштаб времени в каждой точке пространства. Скажем, комптоновская длина волны относительно размера Вселенной зависит от того, как много "туманностей" находится в ней. Если они частично удалены, то масштаб длины должен был бы предположительно меняться.

Мы предположим, следовательно, что естественный масштаб времени, скажем, величина (или любая другая комбинация для других фундаментальных частиц, а мы предполагаем, что все они пропорциональны некоторой единице длины) определяется некоторой удаленной "туманностью". Теперь мы покажем, что инерциальная система отсчета также автоматически определяется этой "туманностью" и феномен инерции для ускорений относительно этой "туманности" может быть понят, если принимается "определяющий длину принцип". Следовательно, принцип Маха эквивалентен утверждению, что фундаментальные единицы длины и времени в точке есть результат влияния удаленной "туманности".

Предположим, что частица находится в покое, тогда в квантовой механике она характеризуется следующей зависимостью от времени . Принцип инерции есть утверждение о том, что временной масштаб не зависит от координаты х; классические траектории интерпретируются так, чтобы следовать нормальным линиям постоянной фазы. В пространстве двух измерений мы рисуем линии постоянной фазы перпендикулярно оси времени, как на рис. 5.1.

Если временные масштабы в различных частях пространства не являются теми же самыми, то линии постоянной фазы в таких диаграммах являются кривыми и соответствующие классические траектории - кривые, соответствующие ускоренному движению по направлению к области с меньшим масштабом, как показано на рис. 5.2. Так как звезды производят такое уменьшение характерного времени для фазы, они должны вызывать ускорения. В квантовой механике плоскопараллельные решения существуют, когда поверхности постоянной фазы параллельны; если этого нет, то волновые пакеты будут стремиться следовать градиенту фазы. Теперь, если удаленная "туманность" определяет в основном этот масштаб и если нет ближайших звезд, масштаб будет почти равным в двух ближайших точках 1 и 2, потому что 1 и 2 находятся практически на одинаковом расстоянии от всех "туманностей". Следовательно, естественная частота (разделение линий постоянной фазы) в точках 1 и 2 была бы практически равной. Таким образом, если частица первоначально имела бы равную фазу в точках 1 и 2, это всегда было бы так, и это состояние оставалось бы в покое, не ускорялось бы (более точно, длинный волновой пакет оставался бы в покое). Неравные начальные фазы дают наклонные линии, постоянная наклона по времени связана с постоянной скоростью. Отсутствие ускорения есть следствие наличия естественной временной шкалы, которая одинакова во всех точках в области пространства. Это постоянство понятно, если "туманности" определяют естественную шкалу для области пространства очень малой по сравнению с размерами распределения влияющих "галактик" (размерами вселенной), никаких вариаций в масштабе не могло бы ожидаться.

Имеются некоторые числовые совпадения, которые мы можем упомянуть здесь для того, чтобы навести на мысль о том, как " естественные" масштабы длины могут быть в некотором смысле извлечены из космологии. Такое совпадение не содержит в себе "теорию", как таковую, оно просто используется для того, чтобы проиллюстрировать связь, которая могла бы быть в конце концов предсказана подробной теорией.

Мы предполагаем, что в некоторой системе временных единиц, которые "естественны" для вселенной, соответствующий инвариант (элемент длины) для частицы, находящейся в покое, есть

(5.4.1)

Координатная временная единица t должна быть где R - радиус вселенной. Мы предполагаем, что атомные единицы определяются мы серьезно берем в качестве абсолютного размера тогда одна единица является фундаментальной длиной. Какова фундаментальная длина? Все масштабы длины пропорциональны, но мы попробуем использовать комптоновскую длину волны Тогда s от 1 означает одну осцилляцию волновой функции протона, a t от 1 - масштаб, равный размеру Вселенной.

Предположим затем, что вклад в величину обусловленный каждым протоном, есть просто есть в координатных единицах радиус вселенной). Тогда удаленные "туманности", которые имеют протонов и которые удалены на характерное расстояние дают вклад в величину порядка . В окрестности звезды на расстоянии , содержащей протонов, элемент дуги имеет следующий квадрат:

Совпадение состоит в том, что если Т - возраст вселенной, то он численно связан со временем протона Вместе с другим совпадением, о котором уже было упомянуто, что когда мы вновь переходим к произвольной системе единиц, такой как сантиметры и секунды, получаем

(5.4.3)

где m - масса звезды, грубо говоря . За исключением катастрофического появления знака (+) вместо знака (—), этот результат идентичен "правильному" выражению для длины дуги. Мы преуспели в получении правильных размеров путем жонглирования космологическими числами.

Вероятно, в таком совпадении нет какого-либо глубокого значения. Одно положение, которое неверно, состоит в том, что мы предположили вклад от каждой протонной массы, но зависимость есть правильное выражение для поправок к полной энергии, обусловленной влиянием близких частиц, и это выражение, возможно, неверно для частиц в удаленных галактиках. Другая серьезная трудность состоит в том, что мы не пытались учесть эффекты, связанные с другими членами тензора h, например . Однако такое жонглирование служит тому, чтобы показать, как теории гравитации неизбежно приводят к рассмотрению вовлеченных в теорию времени и инерции;

Мы получаем представление о том, как взаимодействие, выраженное через число удаленных частиц, может привести к наблюдаемой инерции такого объекта, кале протон. Во всяком случае, делается намек на то, что абсолютная величина тензора взята серьезно; эта величина может иметь смысл. Плоское пространство может быть где - имеющее глубокий смысл число, которое не берется просто равным 1.