Лекция 10

10.1. Полевые уравнения гравитации

Мы нашли тензор, называемый тензором кривизны, который определяется исходя из того, что происходит, когда мы переносим векторы по некоторой замкнутой кривой в нашем пространстве. Поскольку эта величина является тензором, мы можем использовать ее для того, чтобы образовать величины, которые должны быть использованы при написании ковариантных уравнений. Мы не получили никакой физики, просто записывая эти уравнения, тем не менее, мы должны точно определить связь этих уравнений с реальным материальным миром. То, что сделал Эйнштейн, состоит в том, что он попросту предположил, что такая связь есть. Не существует способа вывести эту связь из более фундаментальных принципов. Каждая возможная гипотеза имеет свои характерные свойства, поэтому возможно для более позднего исследователя предположить наличие некоторого критерия, который бы делал выбор единственным, но это по сути дела некий обман.

Некоторая подсказка, которая может помочь нам, состоит в том, что гравитация взаимодействует с плотностью энергии, так что поскольку плотность энергии в теории относительности есть компонент (44) тензора второго ранга, то в уравнениях нам необходимо иметь тензор второго ранга. Кривизна является тензором четвертого ранга, так что мы сворачиваем его (по верхнему и нижнему индексу) один раз и используем тензор Риччи. Первая гипотеза Эйнштейна состояла в том, что тензор энергии-импульса попросту равен тензору Риччи Тем не менее, возможен другой выбор; мы можем добавить к тензору Риччи метрический тензор, умноженный на скалярную кривизну (свернутый тензор Риччи). Таким образом, получаем то, что в конце концов выбрал Эйнштейн:

(10.1.1)

Существует хороший аргумент в пользу того, почему такой выбор лучше. Если мы вычислим ковариантную дивергенцию уравнения (10.1.1), то ответ состоит в том, что эта величина тождественно равна нулю. Это означает, что закон сохранения энергии есть попросту следствие вида уравнения (10.1.1). Если мы положим тензор энергии-импульса равным только вектору Риччи (а не тензору Эйнштейна), то закон сохранения энергии был бы тогда физическим постулатом, который принес бы больше информации и привел бы к меньшей свободе.

В действительности выбор метрических тензоров не является однозначным; когда мы работаем с ними, у нас есть возможность свободы выбора четырех функций, соответствующих четырем функциям, которые описывают общее преобразование, задающее новые координаты через старые. Так как закон сохранения энергии есть тождество, то выбор четырех функций в метрике является полностью свободным.

Насколько хорошо выбор Эйнштейна соответствует Природе? Как мы получаем тензор и каково значение этих уравнений и кривизны? Для того, чтобы ответить на эти вопросы, мы поработаем с этими уравнениями некоторое время. Прежде всего мы попытаемся понять связь этих уравнений с остальной физикой и с вариационными принципами.

Для того, чтобы записать принцип действия в релятивистском виде, нам необходим интеграл, который есть скалярный инвариант. Мы выбираем, что действие для гравитационного поля есть

(10.1.2)

В тех выражениях, которые мы выписываем, мы обозначаем . Действие есть скаляр, поскольку R есть скаляр и есть скаляр. Мы можем показать последнее, исходя из рассмотрения того, что собственное время есть скалярный инвариант

(10.1.3)

Вследствие того, что есть симметричный тензор, мы всегда можем ввести вращение таким образом, что тензор будет диагональным; в этом случае

(10.1.4)

Отсюда мы видим, что элемент объема не является инвариантом; должным образом выбранный инвариантный элемент объема есть

(10.1.5)

где . Если мы делаем ортогональные преобразования, то и также определитель равен . Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объема есть

(10.1.6)

Величина есть скалярная плотность. Это означает, что ее изменение при координатном преобразовании получается умножением на якобиан преобразования

Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины по отношению ди

Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от R как действие гравитационной части полной задачи.

Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариационного принципа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нулю (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увидели эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести вариационный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Доказательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не их доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Доказательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.

Мы хотим показать, что если функционал

(10.1.8)

есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда ковариантная дивергенция вариации по отношению ди тождественно равна нулю. Делая инфинитезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам

(10.1.9)

изменение задается соотношением

(10.1.10)

Выражал действие в новых координатах, опуская штрихи у переменных, по которым ведется интегрирование, инвариантное действие выражается в виде

(10.1.11)

Когда мы производим интегрирование по частям второго слагаемого в правой части этого выражения, мы преобразуем его к выражению, которое включает в себя функциональные производные функции S. Мы кладем его равным нулю, так как мы знаем, что изменение в действии должно быть равно нулю при любом вследствие вида функции Е

Обозначим вариацию величины по отношению к

Величина есть контравариантная тензорная плотность второго ранга. Используя это определение, уравнение (10.1.12) можнс переписать в виде

(10.1.14)

которое эквивалентно утверждению, что ковариантная дивергенция равна нулю

(10.1.15)

Для демонстрации эквивалентности некоторых соотношений, включающих в себя ковариантные производные, удобно использовать некоторые соотношения, которые мы приведем сейчас для того, чтобы в дальнейшем их использовать. Вначале вычислим свернутые символы Кристоффеля.

Используя определение, получим

(10.1.16)

Второй и третий члены взаимно сокращаются, так как тензор ди - симметричен. Оставшийся член содержит обратную матрицу умноженную на градиент . Из хорошо известной теоремы об определителях следует, что алгебраическое дополнение матрицы связывается с соответствующим элементом обратной матрицы соотношением

(10.1.17)

и таким образом

(10.1.18)

Следовательно,

и свернутый символ Кристоффеля равен следующему соотношению

(10.1.20)

Кроме того, имеются следующие полезные формулы для ковариантных производных. Для скалярных функций ковариантные градиенты оказываются равными обычным градиентам

(10.1.21)

Для контравариантпого вектора ковариантная дивергенция есть

(10.1.22)

Ковариантный ротор оказывается равным обычному ротору

(10.1.23)

Для тензоров второго ранга ответы оказываются различными (в зависимости от симметрии), для антисимметричных тензоров

(10.1.24а)

Для симметричных тензоров

(10.1.24б)

Используя эти соотношения, путем прямых вычислений можно получить, что соотношения (10.1.14) и (10.1.15) эквивалентны. Таким образом, мы видим, что инвариантность действия приводит к построению тензорной плотности, которая автоматически имеет нулевую ковариантную дивергенцию. Так как ковариантная производная метрического тензора обращается в нуль, то ковариантная производная также обращается в нуль. (Заметим для точности, что обычная производная есть не то же самое, что ковариантная производная, поскольку есть скалярная плотность, а не скаляр). Тензор, ассоциированный с тензорной плотностью Q также является бездивергентным,

(10.1.25)

В этой связи нам следует прояснить некоторое положение, которое достаточно кратко, но иногда оказывается довольно запутанным. В лекции 6 мы работали с функциональными уравнениями (например, соотношение (6.2.3) того же вида, что и соотношение (10.1.2)); решения этих уравнений являются в действительности тензорными плотностями, а не тензорами. Тензорная плотность удовлетворяет уравнению

(10.1.26)

где но тензор энергии-импульса удовлетворяет следующему соотношению

(10.1.27)