3.3. Амплитуды для обмена гравитона

Выпишем амплитуды для обмена гравитоном по простой аналогии с электродинамикой. Мы должны будем обратить особое внимание на мгновенные нерелятивистские члены, так как только эти члены выявляются в существующих экспериментальных наблюдениях гравитации. Полная теория дает нам как члены, описывающие мгновенное взаимодействие (аналогичное кулоновскому взаимодействию), так и поправки, которые появляются как запаздывающие волны; мы должны будем разделить эти запаздывающие эффекты для вычислений наблюдаемых эффектов.

Мы предполагаем, что оператор Даламбера в импульсном пространстве есть по простой аналогии с уравнением (3.2.1) мы ожидаем, что тензор поля устанавливает соотношение с тензором источника следующим образом

Какое это может быть взаимодействие? Так как электродинамика описывает токи, предположим, что тензоры источника появляются в энергии взаимодействия следующим образом

(3.3.2)

Теперь наша задача состоит в том, чтобы описать частные характеристики тензора Т так, чтобы воспроизводились характеристики гравитации. A priori возможно, что тензор Т включает в себя градиенты, который и есть вектор к.

Если в тензор включены только градиенты, то в результирующей теории нет монополей; простейшими объектами могут быть диполи. Мы хотим, чтобы тензор Т был таким, как в нерелятивистском пределе, а плотность энергии появлялась по аналогии с плотностями заряда . Как хорошо известно, мы имеем в электромагнетизме тензор давления, чья компонента является в точности плотностью энергии электромагнитного поля. Следовательно, очень вероятно, что имеется некоторый общий тензор, чей компонент является плотностью полной энергии; это будет задавать ньютоновский закон гравитации в пределе малых скоростей, энергия взаимодействия при этом

(3.3.3)

Затем, для того, чтобы иметь правильную релятивистскую теорию, необходимо следовать тому, чтобы амплитуда включала в себя полный тензор Т, как мы предполагали в соотношении (3.3.2).

Имеется свойство этого тензора, которое мы не еще упомянули. След симметричного тензора - инвариантная величина, не обязательно равная нулю. Таким образом, при вычислениях, основываясь на симметричном тензоре с ненулевым следом, мы могли бы взять теорию, которая есть смесь теорий со спином равным 0 и со спином равным 2. Если мы выписываем теорию, использующую этот тензор, мы найдем, когда мы прийдем к разделению взаимодействия на его поляризации, что очевидно имеется три поляризации вместо двух, которые допустимы для безмассовой частицы со спином 2. Для того, чтобы быть более точными, мы можем получить кроме взаимодействия (3.2.2) другую возможную инвариантную форму, пропорциональную . Мы попытаемся установить соотношения между этими двумя инвариантами таким образом, чтобы не было обмена реальными гравитонами с угловым моментом, равным нулю.

Выпишем в точности все различные члены следующим образом

В электродинамике мы получили упрощение, используя закон сохранения заряда. Здесь мы получаем упрощение, используя закон сохранения энергии, который может быть выражен в импульсном пространстве следующим образом

(3.3.5)

В нашей обычной системе координат, где компоненты равны нулю, получаем связь компонентов нашего тензора с индексами 3 и 4

(3.3.6)

Используя это соотношение для исключения компонентов с индексом 3, мы находим, что амплитуда разделяется на часть, описывающую мгновенное взаимодействие, имеющую характерный числитель и запаздывающую часть со знаменателем . Для "мгновенного" члена мы получаем

(3.3.7)

и для "запаздывающего" члена

(3.3.8)

Трансверсальные компоненты тензора Т предположительно независимы, так что они представляют сумму трех независимых произведений или трех поляризаций. Мы видим, что такая теория содержит смесь спина 0 и спина 2. Для того, чтобы исключить часть, соответствующую спину нуль, мы должны добавить к нашей амплитуде член вида

(3.3.9)

В «запаздывающем» члене добавляются компоненты тензора следующим образом

Мы можем выбрать параметр а так, что "запаздывающий" член содержит только сумму двух независимых произведений. Соответствующее значение параметра а равно —1/2 для того, чтобы сделать запаздывающий член равным

(3.3.10)

Имеется два направления поляризации, которые порождаются этими комбинациями элементов тензора

(3.3.11)

Различная нормализация есть результат симметрии нашего тензора; мы можем восстановить симметрию, записывая

(3.3.11а)

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

Следовательно, возможное решение типа плоской волны, представляющее наш гравитон, имеет вид

(3.3.12)

где тензор поляризации имеет следующие ненулевые компоненты

Наше взаимодействие в общем виде

может быть записано как где - пропагатор для гравитона описывается следующим соотношением:

Для простоты мы обычно будем предпочитать записывать этот пропагатор как простой множитель и представлять взаимодействие виртуальными гравитонами, испущенными источником с амплитудой

и со связью для поглощения.

Амплитуда для излучения реального гравитона поляризации если как в соотношении (3.3.13), задается внутренним (скалярным) произведением