4.7. Орбитальное движение частицы вокруг звезды

Уравнение движения может быть записано через полевой тензор следующим образом (что следует из соотношения (4.6.8))

(4.7.1)

Перед решением уравнения движения следует заметить, что нам необходимы соответствующие выражения для гравитационных полей. Мы интересуемся этими выражениями в области, где нет источников массы. Таким образом, полевое уравнение

(4.7.2)

может быть решено способом, аналогичным решению уравнения Максвелла, если мы используем лоренцеву калибровку Вспоминая определение даламбертиана , получаем

(4.7.3)

Для гравистатического случая, когда временная зависимость имеет нулевую частоту, мы должны иметь ньютоновский закон для силы; компонент пропорционален массе. Другие компоненты равны нулю. Полевой тензор есть

(4.7.4)

Тензор без черты получается вычислением оператора "черты" от обеих частей

Подставляем такой полевой тензор в уравнения движения и используем следующие обозначения

(4.7.6)

Для данного случая ясно, что но в последней лекции мы будем иметь возможность рассмотреть случай, для которого это неверно, так что мы останавливаемся на таком различии в выражении, но предполагаем, что величины являются функциями только .

Процедура решения уравнений, описывающих орбиты, аналогична методу решения уравнений для ньютоновского поля. Мы разделяем уравнения на пространственные координаты и временные координаты, исключаем время и параметр а для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее бесконечно малые перемещения по радиальной и угловой координате. Мы исходим из четырехмерного уравнения (4.7.1). Пространственные координаты ведут себя согласно следующему уравнению

(4.7.7)

Уравнение для времени имеет вид

(4.7.8)

Мы имеем интеграл движения, следующий из уравнения (4.6.13)

(4.7.9)

которое приводит для нашего случая к следующему соотношению

(4.7.10)

Из уравнения для времени (4.7.8) следует, что

(4.7.11)

где К есть константа (пропорциональная энергии). Это соотношение используется для исключения производной dt/ds из уравнения для пространственных компонент (4.7.7). Так как величины зависят только от , правая часть уравнения (4.7.7) ориентирована по оси х. Из этого следует, что

Таким образом, если мы предполагаем, что движение происходит полностью в плоскости и используем полярные координаты в в плоскости ху, мы имеем дополнительную константу движения L, связанную с угловым моментом

(4.7.12)

Уравнение для радиального движения может быть получено из уравнения (4.7.10), записанного в полярных координатах

(4.7.13)

Меняя производную на отношение мы получаем дифференциальное уравнение для орбиты

(4.7.14)

Традиционная подстановка приводит к уравнению, которое можно удобно рассмотреть, анализируя малые возмущения ньютоновских уравнений

Мы полагаем, что . Для нерелятивистских движений К близка к 1 и если величина предполагается малой, так что в пределе малых значений правая часть уравнения (4.7.15) как раз и есть Это выражение такое же, как и в ньютоновской теории, где правая часть уравнения равна ( где Е - энергия частицы. В релятивистском случае имеются модификации, где мы не пренебрегаем членами более высокого порядка. Их мы обсудим в следующей лекции.