9.2. Ковариантные производные тензоров

В предыдущей лекции мы видели, как понятие кривизны возникает при обсуждении геометрических измерений. Мы можем получить более интересное представление о том, как четырехмерная кривизна будет влиять на наш взгляд на физику, рассматривая более удачное приближение, которое состоит в том, чтобы определить кривизну как величину, описывающую, что происходит с вектором при перемещении его в пространстве. Давайте представим вновь наш двумерный мир. Если мы используем плоские евклидовы координаты, то постоянное векторное поле, существующее в пространстве, описывается постоянными компонентами. Если мы используем некоторые другие координаты, в общем случае искривленные, постоянное векторное поле описывается компонентами, которые меняются от точки к точки. Хорошо знакомый пример состоит во введении на плоскости полярных координат, в которых постоянный вектор описывается компонентами

(9.2.1)

Первое, что мы должны сделать состоит в том, чтобы получить соотношения, которые позволят нам сравнить физически значимое различие между тензором в данной точке и его значением в окружающих точках. По сути дела мы хотим описать изменение тензора, которое до известной степени исключало бы изменения компонентов, вызываемые произвольным выбором координат. Например, мы хотим сравнить вектор в точке с другим вектором, находящимся в точке, характеризуемой инфинитезимальным смещением от заданной точки, перенесением одного из векторов, остающегося постоянным (более точно, остающегося параллельным самому себе) в некоторую другую точку.

Для скалярной функции (тензора нулевого ранга) подобная проблема не составляет проблем. Обычное градиентное преобразование определяется соотношением

так что градиент скаляра есть очевидно ковариантный вектор. Тем не менее, обычные градиенты векторов или тензорных величин более высокого порядка не являются тензорами; в этом случае в законе преобразования имеются члены, зависящие от случайности при выборе координат. Мы выводим соответствующее выражение для производной путем рассмотрения, как такие объекты выглядят в касательном пространстве. Так как касательное пространство - плоское, производные компонентов не содержат членов, обусловленных искривлением координат, и градиенты векторов по отношению к плоским координатам являются тензорами. Мы получим соотношение для этих тензоров в любых координатах, делая обратное преобразование от плоского пространства к произвольным координатам. Как обычно, мы употребляем разложения для того, чтобы получить такие соотношения. ("Штрихованные" координаты соответствуют плоскому пространству.) Пусть

(9.2.3)

Используя первые члены разложения, получим

Поскольку мы можем переписать выражение для производной, используя соотношение (9.2.3), то получим

(9.2.4)

Теперь возьмем градиент этого выражения по отношению к произвольным координатам и вычислим эту величину в начале координат

(9.2.5)

Именно поскольку эта величина берется в начале координат, все члены, линейные по х, равны нулю. Таким образом, мы получаем производную "для плоского пространства" на языке произвольных координат

Если теперь мы запишем через метрические тензоры, то мы получаем соотношение для "более правильной" производной. Эта величина является тензором и известна как ковариантная производная вектора . Для того, чтобы отличить эту производную от градиентов, мы будем использовать точку с запятой для обозначения ковариантного дифференцирования

(9.2.7)

Доказательство того, что эта величина есть тензор, достаточно утомительно, но очень просто; все, что для этого требуется, состоит в том, чтобы преобразовать все координаты к координатам в плоском пространстве, непосредственно вычислить производную и затем проверить полученный закон преобразования. Правило для дифференцирования контравариантного вектора аналогично предыдущему

(9.2.8)

Последнее соотношение может быть доказано более просто, если мы исходим из соотношения (9.2.7) и используем метрический тензор для поднятия и опускания индексов; перестановка метрических тензоров приводит к тому, что величина Г меняет знак. Для того, чтобы вычислять ковариантную производную тензора, имеющего много индексов, получаем следующее правило

(9.2.9)

Другими словами, каждый индекс приводит к тому, что добавляется член, который включает в себя Г и сам тензор. Вряд ли нужно какое-либо другое мнемоническое правило; ковариантная производная вычисляется одинаково для верхних и нижних индексов, причем вычисление производной для верхних индексов идентифицируется со знаком "+", а для нижних индексов со знаком тем самым только это и надо запомнить.

Наиболее хорошо известный пример таких преобразований - это формула для ротора вектора в сферических координатах; эти формулы всегда включают в себя обычные производные, умноженные на величины компонентов этого вектора.

Полезно еще одно соотношение для ковариантных производных. Так как ковариантные производные метрического тензора равны нулю, как легко может быть показано,

(9.2.10)

то следующее правило применимо для произведения

(9.2.11)

Для того, чтобы показать, что подобные соотношения действительно связывают тензорные величины, всегда допустимо так выбрать координаты, чтобы сделать доказательство проще; тензоры являются такими математическими величинами, что тензорные соотношения, доказанные в одной координатной системе, остаются справедливыми для всех других координат. Последнее соотношение легко может быть доказано при использовании перехода к плоскому касательному пространству; ковариантная производная равна обычной производной в таком пространстве.

Одно из действий кривизны состоит в том, что вторая ковариантная производная не коммутирует с первой. Мы можем явно вычислить такие величины путем повторяющегося использования соотношения (9.2.9). Сначала получаем, что

и повторное дифференцирование дает нам

Некоммутативность порядка операций взятия ковариантных производных видна, когда мы вычисляем их разность

(9.2.14)

Множитель, на который умножается вектор должен быть тензором, поскольку величина в левой части последнего соотношения является разностью тензоров.

Рис. 9.1.

Этот множитель в точности является тензором кривизны, так что

(9.2.15)