10.2. Действие для классических частиц в гравитационном поле

Следующее, что мы обсудим, это то, как записать общий закон физики, который описывает не только гравитационные поля, но также и вещество. Мы предполагаем, что такой закон может быть выведен из принципа наименьшего действия; математическая формулировка которого состоит в том, что вариация действия равна нулю

(10.2.1)

Плотность лагранжиана L содержит различные виды полей, например, поле тензора гравитации электромагнитное поле и, если вещество есть скаляр, поле вещества скаляра .

Когда мы вариируем это действие по отношению к различным полям, мы получаем уравнения распространения для соответствующих полей. Мы написали одну часть этого действия; давайте обозначим ту часть действия, которая ранее была пропущена, через которая зависит от полей материи и электромагнитных полей и всех других полей, какие мы только знаем. Когда мы вычисляем вариацию от действия

(10.2.2)

по отношению к ди, мы получаем следующее уравнение:

Тензорная плотность энергии-импульса вещества должна быть вариационной производной

(10.2.4)

в том случае, если тензор должна быть источником гравитационного поля. Теперь нам понадобится несколько примеров тензора . Если мы не можем вычислить тензор исходя из некоторого физического принципа, тогда нет теории гравитации, так как мы не знаем, каким образом поля связываются с любым другим объектом.

Существуют некоторые требования непротиворечивости, подобные тем, которые мы находим в электродинамике. Для того, чтобы решить уравнения Максвелла, нам необходимо иметь токи. Это должны быть сохраняющиеся токи, а не просто произвольные токи. Сохраняющиеся токи источника, имеющие столь важное значение, получаются путем решения некоторых других задач физики, описываемых некоторым независимым законом, таким как Закон Ома, или Закон Гука, или уравнение Шредингера для таких и подобных систем. Если у нас не было таких других законов, то теория электромагнитных полей была бы бесполезной и не имела бы никакого значения.

Для гравитации ситуация более сложная. В тензоре заключено и движение материи, отсюда следует, что у нас должен быть закон, которому следует материя, включая закон Ома и закон Гука; но также тензор будет заключать в себе поля гравитации обстоятельство, которое запутывает подобные задачи существенно в большей степени, чем в электромагнетизме. Вообще говоря, невозможно написать каким-либо согласованным образом тензор за исключением вакуума, если не решена уже полная запутанная задача.

Беспокойство вызвано тем, что любое точно определенное выражение для тензора не будет давать решение подобной задачи, за исключением специальных случаев метрического тензора полное релятивистское решение должно было бы выполняться вне зависимости от частного выбора координат и кривизны. Даже для очень простых задач у нас нет идей относительно того, каким путем надо следовать, чтобы записать правильным образом тензор Мы не знаем, как записать тензор для того, чтобы описать вращающийся стержень, так что мы не можем вычислить в точности излучение им гравитационных волн. Мы не можем вычислить тензор для системы, состоящей из Земли и Луны, поскольку приливные силы и силы упругости Земли существенно влияют на гравитационные поля. Если мы предположим, что Земля абсолютно твердая, то эти уравнения окажутся несогласованными. Если мы предположим, что Земля есть точка, то уравнения окажутся слишком сингулярными для того, чтобы иметь решения. И несмотря на это, материальный шар с заданной жесткостью, такой как Земля, будет вращаться вокруг Луны другой массы и жесткости вне зависимости от того, являются ли рассматриваемые уравнения точно определенными.

В этом месте теория гравитации оказывается достаточно уязвимой, поскольку одна часть уравнения теории гравитации является замечательно красивой и геометрической, а другая часть нет, она содержит всю "грязь" закона Гука и других законов, которые определяют поведение материи, которые не являются ни красивыми, ни геометрическими. Очень многие физики оказались настолько загипнотизированными красотой одной части этих уравнений, что они игнорируют другую часть. Тем самым, у них нет физики, которую необходимо было бы исследовать.

Мы должны провести некоторое изучение для того, чтобы понять возможные виды для действия, соответствующего вкладу материи . В качестве исходной точки полезно рассмотреть классические пределы. Если мы правильно запишем классическое действие, то обычно не очень трудно увидеть, каким образом можно обобщить формулы, чтобы они стали инвариантными при произвольных координатных преобразованиях. Удобный способ породить такие обобщенные формулы состоит в том, чтобы возвратиться назад к локально падающей (свободно падающей) касательной координатной системе, разгадать, как добавить в качестве множителей и так, чтобы все выражение оказалось инвариантом.

Например, свободная частица, на которую не действуют силы, характеризуется действием

Этот пример иллюстрирует процедуру решения подобных задач; обнаруживается обычно, что такой подход оказывается весьма плодотворным. Мы записываем выражения такими, как они выглядят в плоских координатах, переходим к криволинейным координатам и видим, в какие места входят величины . Часто бывает очевидно, какая общая форма будет приводить к результатам в плоском пространстве. Если - орбита частицы, которая свободно падает, то соответствующее слагаемое в действие есть

(10.2.6)

Тензорная плотность энергии-импульса получается путем вариирования этого слагаемого действия по отношению что дает

(10.2.7)

Аналогия с результатами в электродинамике является настолько сильной, что этот результат не выглядит неожиданным. У нас нет волнений, связанных с противоречивостью определения . Поскольку мы исходили из инвариантных выражений, тензорная плотность удовлетворяет соответствующему условию на ковариантную производную.

Интересно исследовать связь между уравнениями движения и бездивергентным тензором энергии-импульса с противоположной точки зрения. При записывании действия мы по существу утверждали, что частица движется вдоль геодезической. Таким образом, результирующая тензорная плотность энергии-импульса является бездивергентной. Теперь мы хотим показать обратное. Предположим, что тензор - ненулевой только в нитеобразной области пространства-времени. Тогда мы можем показать, что эта нитеобразная область есть на самом деле геодезическая при условии, что мы предполагаем нечто эквивалентное сферической симметрии частицы, когда мы смотрим на нее с очень близкого расстояния. Идея состоит в том, чтобы начать с рассмотрения условия, которое связывает обычную дивергенцию с самой тензорной плотностью и произвести интегрирование по частям для того, чтобы преобразовать интегрирование по объему в интегрирование по пространству

(10.2.8)

Если тензорная плотность равна нулю всюду, за исключением нитеобразной области, вклад в поверхностный интеграл равен нулю за исключением тех мест, где нить пересекает поверхность, и которые соответствуют импульсу частицы "до" и "после", если эти поверхности берутся в постоянный момент времени. Преобразуя этот результат к дифференциальной форме, в конце концов получаем результат, заключающийся в том, что движение следует уравнению геодезических:

Возможность такого вывода приводит к утверждению, что уравнения Эйнштейна одновременно определяют движение материи и гравитационных полей. Это утверждение вводит в заблуждение и совершенно не выглядит так замечательно, как это может показаться с первого взгляда. Давайте вспомним, что если у нас есть свободная частица, движущаяся сама по себе вдали от каких-либо других тел, тогда законы сохранения энергии и количества движения определяют полностью ее движение. В теории гравитации свободно падающая частица становится эквивалентной свободной частице, так что вновь наличие закона сохранения энергии оказывается достаточным для того, чтобы полностью определить движение. Но обычная физическая ситуация не является настолько простой, как описанная выше. Когда мы имеем нечто большее, чем только гравитация и частица, уравнения движения не следуют только из законов сохранения энергии и импульса. В электродинамике сохранение заряда должно содержаться в каждом решении уравнений Максвелла, так что можно сказать, что этот закон сохранения есть следствие уравнений Максвелла. Но это условие не дает всего необходимого для того, чтобы построить уравнения движения для зарядов, полей, которые они задают, и сил, с которыми эти заряды действуют друг на друга. Подобно этому в теории гравитации имеет место сохранение энергии и количества движения, но этого не достаточно, чтобы определить движение планет и Луны для случая, когда эти объекты не являются точками, и законы физики, отличные от закона сохранения энергии, требуются для того, чтобы уяснить их поведение в гравитационном поле.