5.5. Собственная энергия гравитационного поля

Вернемся к менее спекулятивной и более точной материи. При развитии и проведении модификаций нашей полевой теории мы пренебрегали тем, чтобы проверить, является ли наша теория внутренне непротиворечивой. Мы написали полный лагранжиан, имеющий полевой член, член, описывающий материю, и член, характеризующий взаимодействие. Мы получили полевое уравнение, используя условие, что дивергенция тензора энергии-импульса должна быть равна нулю. Такая процедура очевидно некорректна, так как мы написали тензор давления, который не включал в себя энергию самого гравитационного поля. Таким образом, наша нынешняя теория не выдерживает критики с точки зрения физики, так как энергия вещества не сохраняется.

Мы попробуем исправить этот теоретический недостаток путем поиска нового тензора, который складывается со старым тензором который мог бы разрешить эту проблему, так что

(5.5.1)

и в то же самое время полная энергия поля правильно учтена. Как мы найдем этот член? Мы могли бы попытаться построить правильный полный тензор, используя формулу Вентцеля и полный лагранжиан. Результат дает несимметричный тензор, если мы проведем его симметризацию, проведем также вычисления, то оказывается, что выражение для прецессии перигелия Меркурия получается неверным. Это другой пример эмпирического определения физических теорий: теории, не возникающие из некоторого рода вариационного принципа, такого как принцип минимального действия, могут в конечном счете приводить к волнениям и противоречиям.

Сделаем попытку другого рода согласно общей линии нашего построения, заключающегося в испытаниях различных теорий в последовательном порядке увеличения сложности. Физически мы знаем, что мы пытаемся описать нелинейный эффект: гравитационное поле образовано энергией, энергия этого поля есть источник других полей. Здесь мы можем приступить к получению важного результата.

Конечно возможно, что такая нелинейность может приниматься в расчет для малого остаточного отличия в прецессии перигелия Меркурия. Мы будем требовать, чтобы полевые уравнения получались из вариации некоторого действия, и будем задавать себе вопрос о том, какого вида член должен быть добавлен к лагранжиану для того, чтобы получить член, похожий на член чтобы придти к уравнению движения

и такого, что соотношение (5.5.1) оказывается выполненным? Как может выглядеть выражение если оно представляет вид гравитационной энергии? Несомненно, что, по крайней мере, частично эта величина пропорциональна квадратам полевых сил; это есть произведение двух градиентов потенциалов. Возможно, поэтому, есть сумма членов, похожих на т.д., каждый из которых с двумя компонентами h и двумя производными.

Мы будем требовать, чтобы наши уравнения были выводимы из вариационного принципа такого, как наименьшее действие. Когда мы вариируем эти произведения, мы уменьшаем число компонент h, так что для лагранжиана, который используется для вычисления вариации действия, требуется связывающий член третьего порядка по который будем называть мы будем пытаться сделать преобразования так, что вариация приводит к члену

Алгебраическое выражение должно быть таким, чтобы оно включало в себя произведения трех компонентов h и имело два индекса, по которым берется производная. Типичный член может быть вида

Когда мы записываем все возможные такие произведения, мы находим, что их 24. Мы могли бы в дальнейшем уменьшить это число, замечая, что некоторые члены могут быть сведены к комбинациям других интегрированием дважды по частям, эти соображения приводят нас к тому, чтобы записать 18 различных и независимых выражений. Следовательно, мы приходим к выражению для через компоненты h и 18 независимых констант.

Дальнейшая процедура очевидна. Мы пытаемся определить константы, исходя их условия, что

(5.5.5)

Эти условия дают множество более, чем 18 уравнений для 18 констант. Тем не менее, оказывается, что все уравнения совместны и 18 констант определяются однозначно. Когда мы сделаем это, у нас будет уточненная теория, которая правильно учитывает энергию самого гравитационного поля во втором порядке по .