11.4. Сингулярность Шварцшильда

Метрика, представленная в соотношении (11.3.6), имеет особенность при . Для того, чтобы узнать, является ли эта особенность, причиняющей беспокойство и имеющей физический смысл, мы должны посмотреть, соответствует ли эта особенность физическому значению измеряемого радиуса от начала координат (что не есть то же самое, что наша координата )

(11.4.1)

Мы получаем ответ, рассматривая эту метрику с использованием другого подхода. Мы могли бы предположить, что правильное описание сферически симметричной метрики должно было бы иметь следующий вид:

(11.4.2)

где Метрика Шварцшильда приводится к такому виду путем подстановки

(11.4.3)

используя которую, получаем следующее выражение

Особенность в интервале собственного времени исчезла. Мы видим, что это было следствием особенности в определении радиальной координаты . Тем не менее, метрика (11.4.4) выделяет частное значение радиуса как положение, в котором обращается в нуль коэффициент при Нам еще следует исследовать, что происходит с физическими процессами в этой точке.

Эти результаты не нуждаются ни в каком непосредственном наблюдательном следствии. Когда мы подставляем величины, соответствующие массе Солнца, мы находим, что такой критический радиус существовал бы, если бы масса Солнца была сосредоточена внутри сферы, имеющей радиус, равный всего 1.5 км. Тем не менее, хотя очевидно эта ситуация не будет иметь место в Солнечной системе, разумно исследовать это критическое значение радиуса как свойство нашей теории.

Физическая интерпретация этого особого значения радиальной координаты связана со скоростью, на которой процессы, происходящие вблизи Солнца, проявлялись бы для удаленных наблюдателей. Ранее мы вычислили, как свет из областей с более низким гравитационным потенциалом сдвигается вниз по частоте, так что все объекты выглядят краснее. Радиус соответствует потенциалу, который настолько низок, что свет не был бы достаточно энергичен для того, чтобы покинуть звезду, так что никакой свет не достиг бы наблюдателя, который находится на большом расстоянии от звезды.

Мы можем увидеть, происходит ли что-либо катастрофическое с геометрией пространства в этой точке, в точности вычисляя компоненты тензора кривизны. Получено, что эти компоненты равны

(11.4.5)

Мы видим, что пространство в этой критической точке - гладкое. Такая особенность не может быть ничем иным как результатом частного способа выбора координат. В нашем примере с жуком, ползающим по поверхности сферы, была особенность в описании сферы при пересечении экватора. Но конечно, в физическом смысле (предполагается, что) пространство является в точности таким же гладким в окрестности этой особенности, как всюду на действительной сфере.

Результат, который мы только что получили, что кривизна пропорциональна выглядит настолько просто, что мы можем попробовать поискать простой способ получения этого результата. У меня всегда было ощущение, что простой результат следовало бы получать простым способом. Следовательно, мы будем рассматривать геометрическую аргументацию, которая воспроизведет зависимость для рассматриваемого случая. Нам снова понадобится понятие средней кривизны в трехмерном пространстве, определяемого путем рассмотрения четырехмерного пространства для фиксированного момента времени. В этом подпространстве компоненты кривизны аналогичны компонентам давления. Для давлений (или угловых моментов) кривизна определяет нечто в плоскости, и мы можем пометить компоненты или парами индексов, которые определяют плоскость, или индексом оси, перпендикулярной плоскости. Таким образом, у нас есть следующее отождествление

(11.4.6)

и т.д. Далее мы покажем, что требование, что дивергенция таких "давлений" обращается в нуль, эквивалентно тождеству Бианки;

(11.4.7)

которое означает, что в этом пространстве (о котором идет речь), такое "давление" приводит к нулевой результирующей силе. Верхние индексы соответствуют плоскости, в которой рассматриваются компоненты кривизны.

Рис. 11.1.

Когда мы имеем дело с давлениями, след тензора давления есть давление. В нашем случая след нашего давления есть средняя кривизна, которая в свою очередь есть плотность вещества. Мы получаем зависимость от требуя в полярных координатах, чтобы физическое равновесие было бы в месте, где давление равно нулю. Мы должны быть внимательны в определении площадей поперек направлений действия давлений, поскольку это должны быть физические площади, измеряемые вдоль геодезических. Мы определяем расстояние вдоль дуги при постоянном значении как во , где небольшой угол. Измерение величины во хорошо определено, так как если мы обходим окружность один раз, то называем полный угол Если радиальное давление обозначим буквой Т, а давление в перпендикулярном направлении как (см. рис. 11.1), мы имеем для элемента объема для которого что эти силы оказываются неуравновешенными, если не выполнены следующие условия

Если для величины Т допускается зависимость только от , мы получаем следующее дифференциальное уравнение, связывающее величины Т и

которое выполняется в общем случае. Теперь мы можем рассмотреть ситуацию в пустом пространстве, в котором след тензора равен нулю

Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид:

отсюда получаем решение .

Двигаясь таким путем, мы видим, почему выполнение тождества Бианки означает, что компоненты кривизны всюду пропорциональны . Связь функции с величиной Т может быть получена с использованием аналогичных простых рассмотрений, которые приводят к заключению, что отличается от 1 на множитель, обратно пропорциональный .