4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи
Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон "обратных квадратов", и то, что "одинаковые тела" притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления 
. Сначала мы проведем в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией 
. Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином 1/2, поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целыми значениями спина 1 и 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется.
Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля 
. Если заглянуть в книгу Вентцеля [Went 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура. Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных
(4.2.1)
Компонент с индексами 
тензора энергии-импульса должен представлять плотность энергии, которая есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильтониана из лагранжиана
(4.2.2)
получаем следующее соотношение
(4.2.3)
Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам 
. Если тензор Т - несимметричен, то результирующая теория - патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле).
Рис. 4.2.
Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными
(4.2.4)
В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметричную форму. Мы получаем лагранжиан и действие
который дает следующее выражение для тензора давления
(4.2.6)
С учетом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид:
(4.2.7)
В наших компактных обозначениях, использующих оператор «черта», последнее соотношение может быть переписано следующим образом:
(4.2.8)
Теперь мы можем использовать член, описывающий взаимодействие, для того, чтобы получить амплитуды для рассеяния при обмене гравитоном.
