8.7. Свойства Великого Тензора Кривизны

Хотя величины не являются инвариантами, они образуют тензор, как можно было бы заключить из закона преобразования (8.6.17). Легко можно показать, что тензор определяется только двадцатью величинами, как мы ранее и утверждали.

Выражения (8.5.9) были получены путем антисимметризации по индексам и впоследствии по . Имеются следующие симметрии для компонент тензора:

(8.7.1)

Следующее алгебраическое соотношение содержится неявно в соотношении (8.5.9) (и, следовательно, в соотношении (8.6.16)):

Давайте посчитаем число независимых компонент тензора кривизны. Первый индекс может не быть равным второму, третий не может быть равным четвертому. Только антисимметричные комбинации могут быть не равны нулю - мы напоминаем, что имеется шесть возможно ненулевых компонент для антисимметричного тензора второго ранга, так что за исключением симметрии, связанной с перестановкой первой пары и второй пары, здесь имелось бы 36 компонентов; последняя же симметрия (8.7.1в) уменьшает это число до . Алгебраическое соотношение, определяемое (8.7.2), содержит только одно нетривиальное ограничение. Если два индекса являются одинаковыми, то соотношение (8.7.2) является тождеством, поскольку имеются симметрии в соотношениях (8.7.1). Например,

(8.7.3)

Так что все индексы должны быть различными для того, чтобы это алгебраическое соотношение имело смысл. Но когда все индексы различны (1,2,3,4), то имеется только одно дополнительное уравнение. Итак, в общем случае имеется только двадцать независимых компонент Великого Тензора Кривизны (Тензора Римана).

То, в чем мы нуждаемся для построения нашей теории, это не тензор, а полностью инвариантная величина, которая может быть подставлена в лагранжиан. (Вместо этого, Эйнштейн говорил, что Тензор Энергии-Импульса равен другому тензору, которые получается из тензора кривизны.) Принцип наименьшего действия должен включать в себя интеграл по всему пространству, который должен быть полностью инвариантным под действием преобразований. Подынтегральное выражение должно быть мировой скалярной величиной

(8.7.4)

Мы получим такой скаляр, поднимая индексы тензора кривизны и свертывая по парам верхних и нижних индексов. Мы можем, например, поднять первый индекс

(8.7.5)

Но если в этом месте мы проведем свертывание по первой паре индексов, то эта величина, к сожалению, обращается в нуль

(8.7.6)

То, что необходимо сделать сначала, состоит в уменьшении ранга тензора и свертывании по первому и последнему индексам

(8.7.7)

(Заметим, что одну и ту же букву R удобно использовать для всех тензоров, получаемых из тензора кривизны.) Этот тензор второго ранга (тензор Риччи) - симметричен. Затем мы вновь уменьшаем ранг тензора для того, чтобы получить нашу скалярную величину ("скалярную кривизну") для подынтегрального выражения

(8.7.8)

Теперь интеграл по объему от этого скаляра не является инвариантом, поскольку элемент объема не является скаляром; величина меняется при изменении координат, причем это изменение определяется определителем матрицы . Таким образом, интеграл от инварианта есть

(8.7.9)

Это выражение определяет действие Эйнштейна—Гильберта для пустого пространства [Hilb 15].