4.4. Подробные свойства плоских волн. Эффект Комптона

Мы можем изучить свойства гравитационных волн в отсутствии материи; вариируя лагранжиан, получим уравнение

(4.4.1)

которое аналогично уравнению Максвелла в пустом пространстве. Если мы используем решения типа плоских волн

(4.4.2)

то уравнение принимает следующий вид

(4.4.3)

Мы интересуемся случаями, когда . Если мы можем разделить на и переставить члены уравнения так, что

(4.4.4)

Такое раз деление вектора на два слагаемых в точности выражает вектор как симметризованный градиент

(4.4.5)

Ранее мы обсудили, кале калибровочная инвариантность гравитационного поля означает, что добавление члена такого вида не приводит к отличиям в физике явления. Отсюда следует, что всегда можно добавить некоторый член к так, что . Мы будем называть такие волны с "калибровочными волнами"; эти волны не связаны ни с какими физическими эффектами и могут быть всегда устранены калибровочным преобразованием.

Если то из уравнения (4.3.3) следует, что

(4.4.6)

Это так называемые свободные волны должны удовлетворять лоренцеву калибровочному условию. Дело не только в выборе

(4.4.7)

для удобства в случаях, в которых волна не свободна. Этот факт имеет свой электромагнитный аналог, для фотонов величина должна быть равна нулю.

Мы можем вывести действительный вид тензора поляризации в системе координат такой, что 4-вектор импульса равен

(4.4.8)

Если мы выбираем

(4.4.9)

и требуем, что должна иметь компоненты только в трансверсальном направлении, мы получаем систему уравнений, которая может быть разрешена и получен ответ

(4.4.10)

Для того, чтобы получить соотношения (4.4.10), заметим, что из уравнения (4.4.6) следует, что так что только компоненты с индексами 4, 1 и 2 являются независимыми. Компоненты с индексом 4 могут быть удалены, если требуется, с помохцью преобразования (4.4.9).

Рис. 4.3.

Например, тогда выберем . Тогда выберем тогда Выбирая сделаем следующую величину равной нулю . Тогда, так как величина 644 также равна нулю, то след равен нулю, следовательно, равны нулю также и Поэтому остались ненулевыми среди величин только компоненты с индексами или 2 и для них Имеется только две линейно независимые нормализованные комбинации (4.4.10).

Амплитуда для комптоновского рассеяния гравитона частицей массы соответствует диаграммам, изображенным на рис. 4.3. Поляризации гравитона представляются тензором для скалярной массы компоненты импульса в каждой вершине - . На языке этих величин мы имеем для первой диаграммы

(4.4.11)

Пропагатор написан таким образом, что подходит для скалярной частицы. Некоторые ограничения в этой формуле следуют из ограничения для плоских волн .