Лекция 4
4.1. Связь между рангом тензора и знаком поля
Мы хотели бы вывести некоторые полезные общие свойства полей, используя свойства лагранжевой плотности. Для гравитационного поля мы определим в данном месте константу взаимодействия и нормализацию плоских волн, которые мы будем отныне использовать. Мы положим
(4.1.1)
Здесь, G - обычная гравитационная постоянная в естественных единицах 
квадратный корень включается в определение с тем, чтобы константа А стала аналогична заряду электрона 
в электродинамике, что предпочтительнее того, чтобы подобная величина была пропорциональна квадрату заряда. Множитель 
служит для того, чтобы исключить не относящиеся к делу множители из большей части полезных соотношений. Для того, чтобы представить плосковолновые гравитоны, мы будем использовать поля
(4.1.2)
с вектором поляризации 
нормализованным таким образом, что
(4.1.3)
Действие, которое описывает общую энергию полей гравитации, вещество и взаимодействие между веществом и гравитонами, имеет следующий вид
(4.1.4)
Мы можем вывести из лагранжианов полей некоторые важные свойства, например, мы можем понять, почему гравитация притягивает как частицы, так и античастицы, в то время как в электричестве одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются. Может быть показано, что это свойство связано со знаком лагранжиана, так что если мы изменим знак лагранжиана 
, сила меняет знак.
Рис. 4.1.
Знак констант взаимодействия 
или 
, или 
не дает отличий в теории, так как он появляется в квадрате в любой диаграмме, которая представляет поправку к энергии; всегда вовлечены две вершины. Мы можем поменять знак энергии, соответствующей диаграмме такой, как изображенной на рис. 4.1, только, если мы можем ввести множитель i в каждой вершине, например, если мы должны использовать поля 
вместо 
.
Тем не менее, поля 
должны представлять соответствующие плоские волны, которые согласовано определены так, что установившиеся волны в большой коробке имеют положительные значения энергии и квантово-механические осцилляторы, которые представляют эти установившиеся волны, ведут себя правильно. Скалярные поля имеют плоские волны
(4.1.5)
Амплитуда а для квантового поля появляется как координата квантово-механического осциллятора. Если значения кинетической энергии таких осцилляторов, которые пропорциональна 
должны представлять положительные значения энергии, мы обязаны записать нашу теорию последовательным образом, и замена 
была бы ошибкой.
Для электромагнитных волн именно компоненты в трансверсальном направлении, перпендикулярном направлению распространения, ограничиваются при подобном рассмотрении. Отрицательный знак появляется в связанной энергии потому, что энергия включает в себя пространственные индексы в скалярное произведение двух векторов, которое мы определили как
(4.1.6)
Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн также имеются трансверсальные компоненты, которые заключены в определенные пределы, а при свертке по двум индексам (или даже по четному числу индексов) знаки сокращаются, знак временных компонентов 
противоположен случаю, рассматриваемому в случае электричества, и мы имеем притяжение.
