Лекция 8

8.1. Преобразования компонент тензора в неортогональных координатах

В большей части предыдущих рассуждений можно было использовать упрощенное обозначение для суммирования тензорных компонент, поскольку мы всегда имели дело с координатными системами, которые были ортогональны. В частности, мы всегда использовали правило суммирования по повторяющимся индексам

(8.1.1)

В ортогональных координатных системах эти суммы являются инвариантными скалярными величинами; хорошо знакомый частный случай представляет собой суммирование, которое определяет собственное время в специальной теории относительности

(8.1.2)

Для более общих координатных систем, рассматриваемых нами теперь, которые ускоряются, скручиваются и сжимаются, собственное время определяется через произведения координатных смещений и метрический тензор (7.4.7); мы видим, что конструкция скалярных инвариантов следует правилу, которое более сложно, чем правило, задаваемое соотношением (8.1.1). Координатные смещения являются прототипами того, что мы будем называть контравариантными компонентами вектора. Для удобства обозначений будем записывать компоненты с помощью верхних индексов, например . Что является важным, так это закон преобразования этих контравариантных векторных компонентов при изменении системы координат. Для координатных интервалов этот закон описывается следующим соотношением:

(8.1.3)

Определим векторную функцию, которая представляет собой набор четырех переменных, которые имеют характер координатных смещений и преобразуются таким же самым образом, как мы меняем координаты

(8.1.4)

Мы называем величины контравариантными компонентами вектора. Мы можем очень легко распространить эти определения на тензоры более высокого ранга; например, тензор есть функция, которая преобразуется таким же самым образом, как и скалярное произведение двух векторов, т.е.

Когда мы сравниваем закон преобразования для метрического тензора с определением (8.1.5), мы видим, что ди не есть величина такого же рода, так как производные появляются в "перевернутом виде". Тем не менее, мы определили матрицу, которая является обратной к матрице

(8.1.6)

Нетрудно показать, что эта обратная матрица на самом деле составляет контравариантный тензор, так что и надлежит записывать его с двумя индексами, кале мы и предчувствовали.

Аналогично предыдущему, нетрудно показать, что суммы

(8.1.7)

и являются скалярными инвариантами; это происходит потому, что производные появляются в правильном порядке в одном случае и в "перевернутом виде" в другом случае, так что после суммирования получаются -символы Кронекера.

Это наводит на мысль, что мы можем использовать метрический тензор для того, чтобы определить векторные компоненты иного рода, имеющие другой закон преобразования

(8.1.8)

которые мы будем называть ковариантными компонентами вектора. Скалярные инварианты, которые могут быть порождены суммированием, есть

(8.1.9)

При преобразованиях с индексами, которые мы проводим, будет важно следить за верхними и нижними индексами; в общем случае, будут допустимы суммирования только по одному нижнему и одному верхнему индексу.

Например, в специальном случае ортогональных координат специальной теории относительности собственное время может быть теперь записано, как

(8.1.10)

Тензор - диагональный и имеет компоненты

Всякий раз, когда векторная величина появляется в физической задаче, например векторный потенциал в электродинамике, эта величина будет появляться в качестве или ковариантного, или контравариантного вектора. Но мы можем всегда построить один из другого, используя метрический тензор; мы можем всегда опустить или поднять индексы по своему желанию, умножая на величины или на компоненты матрицы, обратной к этой матрице. Можно построить тензоры, которые были бы частично ковариантны, частично контравариантны; такие тензоры имеют несколько верхних индексов, несколько нижних, и важно записать эти индексы таким образом, чтобы не было вопроса относительно их порядка

(8.1.11)

Для специального типа симметрических тензоров ди или мы можем ослабить это правило, так как поднятие или опускание индекса производит просто -символ Кронекера

(8.1.12)

Мы не будем утомлять себя тем, чтобы вновь рассматривать доказательства этих соотношений, поскольку они получены много лет тому назад и могут быть найдены во множестве книг. Все они использовались Эйнштейном, который придумал эти обозначения, что упростило работу с ними, и он является "надежным малым" ("reliable guy"), когда придумывает подобные штуки. Перемещение индексов, поднятие их или опускание, есть нечто мнемонические, так кале это соответствует перемещению индексов в производных, которые определяют эти преобразования, в соотношениях (8.1.3), (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.8).

Нет фундаментального физического различия между ковариантными и контравариантными компонентами вектора; они имеют одинаковое физическое содержание и меняется только их представление. Для случая двух измерений мы можем легко показать графически, как представления векторов отличаются.

Рис. 8.1.

Так как преобразования определяются как инфинитезимальные перемещения, нам нет нужды беспокоиться о кривизне пространства; все, что здесь заключено, это наличие ортогональности или ее отсутствие. Если оси координат не пересекаются под прямым углом, то имеется два способа проектирования физического смещения на оси: или перпендикулярно на ось, или параллельно другим осям, как показано на рис. 8.1. Мы видим, что тензорные компоненты описывают отсутствие ортогональности координат в заданной точке.