9.4. Связь между кривизной и материей

Мы видели, как эффекты, связанные с действием гравитационных полей, могут быть описаны в рамках нашей геометрической интерпретации через тензор кривизны Осталась только одна задача, состоящая в том, чтобы связать тензор кривизны с источниками гравиталии, материи и энергии. Первое, что мы делаем для этого, мы производим свертку тензора кривизны по первому и последнему индексам и получаем тензор, который называется тензором Риччи

(9.4.1)

В этом соотношении указан единственный способ, каким можно свернуть один раз тензор кривизны. Следующий намек приходит из рассмотрения обобщенного закона сохранения энергии и импульса, который гласит, что свернутая ковариантная производная или, иначе говоря, ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса, должна быть равна нулю.

Мы ищем вид соотношения, включающего в себя тензор Риччи таким образом, что его свернутая ковариантная производная является тождественным нулем. Ответ получается из свертывания дважды тождества Бианки (9.3.7). Свертывание по индексам приводит к выражению, включающему в себя тензоры Риччи

(9.4.2)

Свертывая по индексам , мы получаем

(9.4.3)

Таким образом, тензорная величина, которая имеет нулевую ковариантную производную, есть

(9.4.4)

Гипотеза Эйнштейна состояла в том, что эта величина в точности есть тензор энергии-импульса. Для того, чтобы записать это в эйнштейновской форме, мы просто поднимаем один индекс для того, чтобы записать дважды ковариантный тензор

(9.4.5)

Первое уравнение (9.4.5) определяет полный закон гравитации Эйнштейна; т.е. это отправная точка всей нашей работы. часто называется тензором Эйнштейна.

После того, как мы установили связь между тензором энергии-импульса и тензором кривизны, возникает интересный вопрос. Наша интуиция могла бы предполагать, что если повсюду в пространстве нет материи и давлений, геометрия должна бы быть плоской, описываемой метрикой Минковского специальной теории относительности. Тем не менее, оказалось возможным получить решения такие, что

(9.4.6)

Наиболее интересным из таких решений является решение А. Тауба. Это решение наиболее интересно, поскольку оно не зависит от времени. Тем не менее, могут быть другие решения такой задачи, так мы можем спросить, можем ли мы иметь гравитацию без того, чтобы имелись источники?

Ответ на этот вопрос вероятно будет аналогичным ответу, который дается на аналогичный вопрос в электродинамике. Если разрешается зависимость от времени, то уравнения допускают существование полей без источников (т.е. движущиеся волны), до сих пор мы никогда не сталкивались с физическими трудностями, предполагая, что все наблюдаемое излучение действительно приходит от заряженных источников, которые и испускают это излучение.

Можно построить статические поля, например, имеющие потенциалы

(9.4.7)

которые являются бездивергентными, а потому не имеют источников. Обычная интерпретация таких решений состоит в том, что такие поля вызываются зарядами, лежащими вне некоторого объема, внутри которого соотношения (9.4.7) оказываются справедливыми, и для этого требуется все большее и большее количество заряда, наг холящегося вне рассматриваемой области для того, чтобы сделать такого рода решения приемлемыми, когда мы пытаемся увеличить объем, в котором выполнены приведенные выше решения.

Не проверяя в деталях решения А. Тауба, я полагаю, что он столкнулся с аналогичной ситуацией. Для того, чтобы объяснить наличие кривизны в отсутствии материи, мы должны взять предельный случай решений, которые имеют ясную физическую интерпретацию на малых областях, и затем разрешить этим областям стать бесконечно большими. Цена, которая при этом должна быть заплачена, состоит в том, чтобы неограниченно отсрочить объяснение растущего количества "внешней" материи, которая нам требуется.