Лекция 2

2.1. Постулаты статистической механики

При построении возможных вариантов нашей теории гравитации мы должны остерегаться от слишком поспешного принятии (без достаточных на то оснований) многих из предрассудков нынешнего научного мировоззрения. В предыдущей лекции мы увидели, что имеется что-то не вполне удовлетворительное в том, что вероятности появляются при нашей интерпретации вселенной. Если мы действительно думаем, что вселенная описывается великой волновой функцией без внешнего наблюдателя, то ничто не может быть когда-либо вероятностью, так как никакого измерения даже не может быть сделано! Это обстоятельство физики имеют ввиду, несмотря на экспериментальное свидетельство оправданности подобного описания для подобластей вселенной, которые могут для наших целей довольно детально описываться волновыми функциями, амплитуды которых представляют вероятности результатов измерений.

Подобным образом, существуют трудности с описанием статистической механики в простом учебнике; хотя этот пример не слишком близко связан с теорией гравитации, но он связан с космологическими вопросами, которые мы будем обсуждать ниже. Довольно часто постулируют a priori, что все состояния равновероятны. Этот постулат не является истиной в нашем мире, как мы видим его. Этот мир не описывается правильно физикой, в которой предполагается выполнение этого постулата. В мире живут люди - не физики - такие как геологи, астрономы, историки, биологи, которые готовы поставить высокую станку на то, что когда мы наблюдаем еще ненаблюдаемую область вселенной, мы найдем определенную организацию, которая не предсказывается физикой, которой мы призываем верить. В соответствии с нашим опытом как наблюдателей, мы обнаруживаем, что если мы заглянем в книгу с заглавием на обложке "Наполеон", то действительно, шансы на то, что внутри книги будет что-либо о Наполеоне, очень велики. Мы определенно не ожидаем найти систему в термодинамическом равновесии, когда мы открываем эти страницы. Но физики не нашли способа, как учесть подобные шансы для ненаблюдаемых областей вселенной. Современные физики никогда не могли бы предсказать так же хорошо, как геолог, шансы на то, что когда мы взглянем внутрь определенных камней, мы найдем ископаемое топливо.

Рис. 2.1.

Подобным образом, историки астрономии и астрономы находят, что всюду во вселенной, которую мы наблюдаем, мы видим звезды, которые горячее внутри и холоднее снаружи, т. е. системы, которые, на самом деле, весьма далеки от термодинамического равновесия.

Мы можем понять насколько невероятна такая ситуация с точки зрения обычных предсказаний термодинамики, путем рассмотрения простых упорядочений. Рассмотрим яхцик в качестве вселенной, в которой имеется два типа частиц, белые и черные. Предположим, что в определенной области вселенной, подобной маленькому углу ящика, мы видим, что все белые частицы отделены от черных частиц диагональю (точнее плоскостью, проходящей через диагонали на противоположных сторонах, см. рис. 2.1). Априорная вероятность того, что такая картина имеет место, должна быть очень, очень мала, и мы должны, исходя из наших нынешних предубеждений, приписать этому состоянию статистическую флуктуацию, которая довольно невероятна. Что мы предсказываем для остальной части вселенной? Это предсказание состоит в том, что если мы взглянем на другую область, то мы должны были бы наиболее вероятно найти, что эта другая область имеет значительно менее упорядоченное распределение белых и черных частиц. Но фактически, мы такого не обнаруживаем, и в каждой новой области мы наблюдаем то же самое упорядочение, как и в предыдущем случае. Так, если я сяду в свою машину и поеду в горы, которые я до этого никогда не видел, я найду деревья, которые выглядят в точности также, как те деревья, которые я знаю. Если рассматриваются системы с экстремально большим количеством частиц, то вероятности таких наблюдений в терминах обычной статистической механики фантастически малы.

Наилучшим объяснением флуктуации, которая наблюдается, является то только, что многое флуктуировало, и что остальное находится в случайном состоянии. Если все состояния равновероятны а priori, и если найден кусочек мира, который столь односторонен, то остальная часть мира должна была бы быть равномерно перемешана, поскольку тогда была бы меньше флуктуация. Можно было бы возразить, что события и структуры коррелированы; они все имели одно и тоже прошлое!

Но это другая теория, чем та, которая лежит в основании описания вселенной в рамках статистической механики. Это та противоположная теория, которая утверждает, что в прошлом мир был более организован, чем сейчас, и что наиболее вероятное состояние не есть состояние равновесия, а некоторое особое состояние, которое динамически эволюционирует. В этом заключается общепризнанное предположение, которое принимается всеми историками, палеонтологами и другими.

Вероятностные аргументы могут быть использованы как тест для теории и могут быть применены следующим образом. Предположим, что на априорной основе мы хотим приписать очень, очень низкие шансы той гипотезе, что вселенная не должна описываться как тщательно подобранная флуктуация от полного хаоса, характеризующего термодинамическое равновесие; например, предположим, что априорная вероятность представления, что все состояния равновероятны, есть . Затем давайте опишем число упорядоченных состояний в соответствии с некоторой схемой; например, предположим, что мы перечислим все состояния, которые упорядочены менее, чем миллионом слов. Теперь мы определим оставшуюся априорную вероятность для гипотезы, что вселенная эволюционирует от одного из этих специально упорядоченных состояний в прошлом. Другими словами, мы предполагаем, что все состояния равновероятны, но хотим допустить возможность того, что наблюдательные тесты могут опровергнуть гипотезу равновесия.

Теперь мы начинаем делать наблюдения мира вокруг нас и мы наблюдаем состояния с описываемым порядком. Каждый из нас этим утром видел, что земля была внизу, а воздух был вверху, но одного такого наблюдения достаточно, чтобы увеличить шансы для упорядоченных состояний в апостериорном суждении о вероятности начальной ситуации. И если мы делаем все больше и больше наблюдений, это увеличение в конце концов достигнет даже способом, который может вычисляться в соответствии с теоремой: если априорная вероятность ситуации А есть и если априорная вероятность ситуации В есть и если сделано наблюдение, которое более вероятно, если А имеет место, и менее вероятно, если В имеет место, то апостериорная вероятность А увеличивается отношением, по которому результат измерения является более вероятным, если А имеет место.

Если делается наблюдение угла вселенной, причем наблюдение макроскопическое, то можно обнаружить, что это состояние весьма далеко от равновесия.

Шансы на то, что это может быть флуктуация, экстремально малы; требуется только одиночное наблюдение макроскопического порядка, чтобы уменьшить вероятность до для которой только 5000 молекул должны быть упорядочены. Таким образом, совершенно очевидно, что только специальные состояния могли бы порождать огромную степень упорядочения, которую мы видим в мире.

Как тогда работает термодинамика, если ее постулаты вводят в заблуждение? Фокус состоит в том, что мы всегда упорядочиваем объекты таким образом, что мы не делаем эксперименты над объектами, когда мы их находим, а только после того, как мы выбрасываем все те ситуации, которые могли бы привести к нежелательным упорядочениям. Если мы должны проводить эксперименты над газами, которые первоначально помещены в металлический кал, мы должны заботиться о том, чтобы "дождаться того момента, когда термодинамическое равновесие установится" (как часто мы слышали эту фразу!), и мы выбрасываем все те ситуации, в которых что-либо случается с аппаратурой, что электричество отключается вследствие того, что сгорел предохранитель, или что кто-либо ударил по кану молотком. Мы никогда не проводим экспериментов над вселенной, как таковой, но скорее мы контролируем обстоятельства, чтобы подготовить более тщательно системы, над которыми мы экспериментируем.

Более удовлетворительный способ представления постулатов статистической механики может быть следующим. Предположим, что мы действительно знаем все детали (классической) системы, такие как масса газа, с бесконечной точностью; это означает, что мы знаем положения и скорости всех частиц в некоторый момент времени . Тогда мы можем (игнорируя действительные трудности в практике) вычислять точно, если мы знаем законы природы в точности, и узнать поведение и состояние всех других частиц в любой момент времени в будущем. Но сейчас предположим, что имеется некоторая небольшая неопределенность в наших измерениях или в нашем знании какого-либо одного фактора, который включен в вычисление, положение, скорости любой выделенной частицы или в небольшой неопределенности в точность, с которой мы знаем взаимодействие частиц. Не имеет значения (за исключением контрпримеров, построенных математиками), с чем связана эта неопределенность. Если такая неопределенность существует, мы должны будем описать финальное состояние усреднением этой неопределенности, и если прошло достаточно большое время, которое будет короче, чем наиболее длинное время неопределенности и наиболее длинное время системы, предсказания измерений будут очень близки к тем, которые даются канонической теорией термодинамического равновесия.

Рис. 2.2.

Если для примера мы нарисуем скорость молекулы номер 6 в момент времени t = 30 мин. как функцию любой другой начальной переменной в системе, например, такой как начальное положение или скорость частицы номер 133, мы найдем экстремально сложную кривую с очень, очень тонкими деталями, которые должны усредняться к "равновесным" результатам, как только мы усредняем по начальной конечной неопределенности выбранной переменной в данной задаче. Другими словами, распределение начальных значений в рассматриваемом диапазоне должно быть очень похоже на "равновесное" распределение (рис. 2.2).

Физически удовлетворительное обсуждение термодинамики и статистической физики может быть достигнуто, если признать, что проблема состоит в том, чтобы определить условия в системе, в которой различные события происходят при очень различных скоростях. Только если эти скорости существенно различны, термодинамика может быть использована. Таким образом, термодинамика должна различить медленные и быстрые процессы. Когда мы говорим о термодинамическом равновесии для нашей массы газа, мы не ждем бесконечное время, а ждем время достаточно продолжительное по сравнению с некоторым классом взаимодействий (налример, молекулярных столкновений), который и производит тот тип равновесия, который мы рассматриваем.

При изучении кислорода в металлическом кане, мы не ждем так долго, чтобы стенки кана могли бы окислиться или чтобы металл испарился бы в пространство, как в конце концов должно было бы произойти, так как он имеет конечное давление пара, также как мы не рассматриваем всех ядерных реакций, которые время от времени (в согласии с нашей теорией) имеют место для сталкивающихся молекул.

Мы должны быть внимательны при интерпретации этих результатов наших теорий, когда они исследуются с полной математической строгостью. У нас нет физической строгости, которая была бы достаточно хорошо определена. Если имеется что-либо слегка неправильное в нашем определении рассматриваемых теорий, тогда полная математическая строгость может трансформировать эти ошибки в нелепые выводы.

Вопрос заключается в том, как в квантовой механике описать ту идею, что состояние вселенной в прошлом было каким-то особенным. Очевидный путь состоит в том, чтобы сказать, что волновая функция мира (если таковая существует) была определенной при (возраст вселенной). Но это означает, что волновая функция в настоящее время говорит нам не только о нашем мире, но в равной степени и обо всех других возможных вселенных, которые могли эволюционировать из того же самого начала. Это парадокс кота на большом масштабе. Эквивалентно представляется "наш мир" плюс все другие мертвые коты, чья смерть была квантовой контролируемой случайностью. Из этого "наш мир" может быть получен "редукцией волнового пакета". Каков механизм этой редукции? Вы должны или предположить, что наблюдаемые создания делают что-либо, не описываемое квантовой механикой (т.е. уравнением Шредингера), или что все возможные миры, которые могли бы эволюционировать из прошлого, являются одинаково "реальными". Это не значит сказать, что тот или иной выбор является "плохим", но значит только отметить, что я верю, что теперешняя квантовая механика подсказывает тот или иной выбор.