2.5. Физическая реализуемость. Устойчивость

ЛПП-систему называют физически реализуемой, если величина отклика при  зависит только от отсчетов входной последовательности с номерами . Для ЛПП-системы это означает, что импульсная характеристика  равна нулю при . Как мы увидим в гл. 3 и 4, существует несколько систем, имеющих важное значение, но физически нереализуемых. К ним относятся идеальный фильтр нижних частот и идеальный дифференциатор. Поэтому значительная часть теории фильтров посвящена методам аппроксимации физически нереализуемых систем реализуемыми системами.

ЛПП-система называется устойчивой, если при любой ограниченной входной последовательности выходная последовательность также ограничена. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является следующее требование к импульсной характеристике:

                                              (2.12)

Необходимость и достаточность условия (2.12) нетрудно показать. Предположим сначала, что условие (2.12) не удовлетворяется, т. е.

                                              (2.13)

Рассмотрим ограниченную последовательность

                          (2.14)

Согласно формулам (2.11), при  отклик равен

     (2.15)

Таким образом, последовательность  не ограничена, так что неравенство (2.12) является необходимым условием устойчивости системы. Для доказательства достаточности предположим, что условие (2.12) выполняется, а на вход поступает ограниченная последовательность , т. е.

                                  (2.16)

Фиг. 2.6. Импульсные характеристики устойчивой и неустойчивой систем.а — устойчивая система; б — неустойчивая система.

Из формул (2.11) получаем

             (2.17)

Последовательность  ограничена, поэтому система устойчива, что и требовалось доказать. На фиг. 2.6, а, б даны примеры импульсных характеристик устойчивой и неустойчивой систем. Импульсная характеристика, приведенная на фиг. 2.6, а, имеет вид , причем , поэтому условие (2.12) удовлетворяется и система устойчива. Выражение для импульсной характеристики на фиг. 2.6, б имеет тот же вид, но , поэтому условие (2.12) не выполняется и система неустойчива.