3-2. ИДЕАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК

Мы будем считать, что в зависимости от воздействующего на приемник суммарного колебания он обязательно воспроизведет одно из возможных значений сообщения.

Очевидно, для каждого приемника из всех возможных значений из всех возможных значений совокупности можно выделить область таких значений, при которых приемником будет воспроизводиться сообщение, соответствующее сигналу Эту область назовем о -ластью сигнала Точно так же можно выделить область таких значений, при которых будет воспроизводиться сообщение, соответствующее сигналу Назовем эту область областью сигнала

Очевидно также, что в нашем случае всю область возможных значений можно разбить таким образом, на не перекрывающих друг друга областей.

Пусть посылался сигнал . В этом случае приходящее на приемник колебание при наличии помехи будет характеризоваться координатами которые могут принять, вообще говоря, любые значения, поскольку взаимно независимые случайные нормальные величины. Таким образом, с некоторой вероятностью колебание может попасть в любую область. Допустим, что оно попало в область причем . В этом случае приемник воспроизведет ошибочно сообщение, соответствующее сигналу вместо сообщения, соответствовавшего сигналу

Очевидно, в зависимости от конфигурации областей, которая определяется приемным устройством, будет получаться больше или меньше правильно воспроизведенных сообщений. Мы поставим перед собой задачу при заданных сигналах выбрать области значений колебания так, чтобы число неправильно воспроизведенных сообщений было минимально, или, что то же самое, чтобы вероятность правильного воспроизведения сообщения была максимальной. Приемник, характеризуемый такими областями и дающий вследствие этого минимальное число неправильно воспроизведенных сообщений при наложении помехи, мы будем называть идеальным.

Для определения конфигурации областей, характеризующих идеальный приемник, введем следующие обозначения: вероятность того, что будет послан сигнал условная вероятность прихода колебания с координатами

если известно, что был послан сигнал — условная вероятность того, что был послан сигнал если пришедшее колебание известно и равно т. е. соответствует неравенствам ;

вероятность, что пришедшее ние будет

При этих обозначениях вероятность, что одновременно будет послан сигнал и придет колебание будет:

откуда

Если при приходе колебания приемник будет воспроизводить сообщение, соответствующее сигналу то вероятность правильного воспроизведения при приходе этого колебания будет, очевидно, равна

Аналогично, если при приходе колебания приемник будет воспроизводить сообщение, соответствующее колебанию то вероятность правильного воспроизведения будет

Таким образом, для получения при приходе колебания максимальной вероятности правильного воспроизведения сигнала надо, чтобы приемник при этом воспроизводил сообщения, соответствующие тому сигналу, для которого величина будет наибольшей, или, другими словами, для этого надо приемник построить так, чтобы колебание относилось к области того сигнала для которого максимально. Этот приемник будет обеспечивать максимальную вероятность правильного воспроизведения сообщений. Любой другой приемник не сможет увеличить эту вероятность.

В соответствии с идеальный приемник при приходе колебания должен воспроизводить сообщение, соответствующее тому сигналу который даст максимальную величину выражения

В этом выражении величина должна быть задана — она определяется характером передаваемых сообщений. Величина по определению равна вероятности того, что колебание помехи примет такое значение, что, сложившись с сигналом она даст колебание которое должно удовлетворять соотношениям

Исходя из равенства вероятность этого будет равна вероятности того, что будут удовлетворять неравенствам

Вероятность последнего в соответствии с § 2-6 и формулами (2-78) и (2-79) будет равна:

где

Далее, при бесконечно малых

откуда следует:

Эта величина будет тем больше, чем больше показатель.

Поэтому мы получим наибольшую вероятность правильного воспроизведения сообщений, если приемник выберем так, что будет всегда относиться к областитого сигнала, для которого величина

будет иметь наименьшее значение.