Приложение D. НОРМАЛЬНО ФЛЮКТУАЦИОННОЕ КОЛЕБАНИЕ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рассмотрим прохождение нормально флюктуациоииого колебания через лииейиую систему. Пусть на вход этой системы действует колебание даваемое формулами (2-54) и (2-27) и состоящее из весьма коротких импульсов (2-28).

Это колебание может быть записано так:

где может быть сколь угодно велико, если импульсы брать достаточно короткими.

Колебание на выходе системы будет:

где комплексный коэффициент передачи системы на частоте

Раскрывая синусы и косинусы, входящие в это выражение, получим:

На основании формул (2-74) и (2-75) будем иметь:

где нормальные случайные величины, независимые друг друга, поскольку условие (2-76) тут удовлетворяется. Действительно,

На основании сказанного получим:

где

Как видно из этого выражения, на статистические свойства колебания фазовая характеристика системы не влияет.

Колебание будем называть нормально флюктуационным колебанием с переменной интенсивностью.

Колебание действующее на вход системы, состоит из коротких импульсов. Каждый из этих импульсов будет вызывать на выходе системы свой импульс, форма которого будет определяться комплексным коэффициентом передачи

Таким образом, можно считать, что колебание образуется наложением большого числа хаотически расположенных по времени подобных импульсов.

Интенсивность колебания на выходе системы можно и прямо найти по спектральным функциям импульсов на выходе.

Действительно, модуль спектральной функции -того импульса на выходе будет:

где определяется формулой (2-32) и является модулем спектральной функции -тото импульса на входе, поскольку они там бесконечно короткие. Поэтому, учитывая (2-39) и получим:

Таким образом, сумма большого числа случайно расположенных по времени импульсов, имеющих модули

спектральных функций будет нормально флюктуационным колебанием с интенсивностью

где сумма берется по всем импульсам на интервале —

Сумма независимых нормально флюктуационных колебаний с переменными интенсивностями

как нетрудно доказать, проведя рассуждения, аналогичные предыдущему, также будет нормально флюктуациоииым колебанием с интенсивностью, равной для которой

где - интенсивности колебаний

Таким образом, колебание, состоящее из хаотически расположенных импульсов различной формы, также является нормально флюктуационны.

Найдем еще эффективное значение нормально флюктуациониого колебания с переменной интенсивностью

В соответствии с теорией рндов Фурье квадрат эффективного значения будет равен:

где

Усредняя это значение для ряда опытов, получим:

поскольку

При увеличении разности будут стремиться к нулю и

откуда среднее эффективное значение колебания при достаточно больших будет:

Если с начиная с будет равно 0, то верхний предел будет

(см. скан)