6-5. ВТОРОЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБОК И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ПОМЕХЕ МАЛОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ

Величина ошибки при передаче параметра и малой интенсивности помехи может быть найдена и другим методом. Хотя этот метод дает результат, совпадающий с уже полученным, все же мы его рассмотрим, так как сам этот метод представляет интерес и мы им будем пользоваться в дальнейшем, правда, в более сложной форме.

Пусть, как и раньше, при передаче некоторого параметра Я посылается, сигнал На этот сигнал может наложиться, но может и не наложиться, помеха в результате чего на приемник будет воздействовать некоторое колебание

равное если помехи не было, и равное при наличии помехи.

Представим это колебание так:

где - некоторые единичные, взаимно ортогональные, известные функции. Тогда оно будет полностью характеризоваться значениями На основании пришедшего колебания приемник воспроизведет некоторое значение параметра Я, которое может совпасть, но может и не совпасть с переданным значением. Будем считать, что каждому воздействующему на приемник колебанию должно соответствовать определенное значение парамётра, которое он будет воспроизводить.

Очевидно, для каждого приемника воспроизводимый параметр будет равен некоторой функции:

которая будет характеризовать его работу.

Пусть пришедшее колебание получит некоторое приращение

Очевидно, в этом случае воспроизведенный приемником параметр также получит приращение, равное:

где обозначено:

как это следует из (2-22).

Пусть передаваемый параметр изменен на на сигнал помеха не накладывается, тогда пришедц на приемник колебание изменится на величину

где

Мы считаем, что в том случае, когда на сигнал помеха не накладывается, приемник будет воспроизводить передаваемый параметр без искажения. Поэтому воспроизведенный сигнал в этом случае должен измениться также на величину На основании формулы (6-23) мы получим:

Таким образом, для приемного устройства, воспроизводящего передаваемый параметр в отсутствие помех без искажения, должно быть справедливо соотношение

Пусть теперь на передаваемый сигнал накладывается достаточно малая помеха Тогда под действием этой помехи приходящее колебание получит приращение

а от этого воспроизведенный параметр получит в соответствии с формулой (6-23) приращение

Последнее следует из формулы (2-60).

Таким образом, ошибка, получаемая при воспроизведении параметра приемным устройством вследствие наложения помехи, будет случайной величиной, подчиняющейся закону Гаусса. Среднее квадратическое значение ошибки будет определяться, как это следует из формулы (2-50), величиной

Найдем теперь, каким должен быть приемник для того, чтобы среднее квадратическое значение ошибки было минимальным.

Для этого, очевидно, нужно выбрать приемное устройство таким, чтобы при соблюдении обязательного равенства (6-27) величина была наименьшей.

Очевидно, любую функцию можно представить всегда состоящей из двух слагаемых:

причем первая из них будет "совпадать по направлению" с функцией т. е.

где некоторое постоянное число, а вторая ортогональна этой функции, т. е.

Тогда

что на основании условия (6-27) даст:

откуда

Что же касается то оно в условие (6-27) не войдет и может иметь любое значение. Далее,

так как

Из этой формулы следует, что при выполнении условия будет иметь минимальное значение, если

Таким образом, мы получим минимальные значения ошибки, если

причем эта минимальная ошибка будет в соответствии с формулой (6-28) равна:

откуда для минимального значения средней квадратической ошибки мы получим выражение

что совпадает с формулой (6-18), полученной для этой величины ранее.