2-7. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ

Полученные в этой главе соотношения, а также соотношения, которые мы получим в дальнейшем, допускают толкование при помощи геометрии многомерного пространства.

Хотя непосредственно образы многомерного пространства не очень наглядны, но все же такое толкование дает ряд удобств, в особенности для тех, кто имеет склонность к геометрическому мышлению.

Дело в том, что соотношения, справедливые для любого многомерного пространства, справедливы и для частных случаев — пространств трехмерного и двумерного. Это позволяет предугадывать и проверять общие свойства пространств со многими измерениями на наглядных образах обычной геометрии.

Кроме того, применение терминологии и образов, вэятых из геометрий трехмерного пространства, позволяет легче запоминать полученные соотношения.

Мы условились, что будем рассматривать функции в интервале и с частотами, лежащими в некоторых пределах. В этом случае рассматриваемые функции могут быть представлены в виде:

где вполне определенные функции, даваемые равенствами (2-14).

Таким образом, любая рассматриваемая функция будет полностью определяться величинами

Мы можем эту функцию условно представлять некоторым радиусом-вектором -мерного пространства, конец которого имеет координаты или точкой конца этого вектора. Такой вектор мы будем называть вектором, соответствующим функции или кратко вектором функции . В случае такое представление особо наглядно.

Функция будет иметь все координаты, равные нулю, кроме координаты с номером I, которая будет равна единице. Таким образом, радиус-вектор, соответствующий функции будет лежать на оси с номером и иметь длину, равную единице.

Нетрудно видеть, что вектор суммы нескольких функций будет равен сумме векторов слагаемых функций. Вектор разности функций — разности векторов этих функций.

При принятых в § 2-1 определениях скалярное произведение функций равно скалярному произведению соответствующих им векторов, как это следует из формулы (2-22).

Таким образом, сложение, вычитание и скалярное умножение функций можно заменить сложением, вычитанием и скалярным умножением их векторов.

Далее ортогональным функциям будут соответствовать ортогональные векторы. Функциям, совпадающим по направлению, — векторы, совпадающие по направлению.

Величина эффективного значения функции, квадрат которого дается выражением (2-23), равна длине вектора, соответствующего этой функции. В соответствии с этим квадрат расстояния между точками, соответствующими функциям будет равен:

Единичной функции соответствует единичный вектор.

Системе единичных ортогональных функций соответствует система единичных ортогональных векторов.

Введенное в § 2-6 формулой (2-82) понятие объема области соответствует объему в пространстве, в котором мы строим векторы.

Случайной функции определенной уравнением (2-66), соответствует случайный радиус-вектор. Вероятность того, что конец этого вектора попадет в тот или иной малый объем определяется формулой (2-85). Как видно из этой формулы, эта вероятность пропорциональна объему и зависит еще от расстояния этого объема от начала координат. Это расстояние равно величине

Из формулы (2-68) следует, что проекция вектора, соответствующего на любое направление, равная скалярному произведению единичного вектора, совпадающего с данным направлением, на вектор, соответствующий всегда равна нормальной случайной величине. Проекции вектора, соответствующего на ортогональные направления будут независимые между собой нормальные случайные величины.

Все, что говорилось здесь о векторе, соответствующем случайному колебанию может быть перенесено на вектор, соответствующий колебанию помехи поскольку эти колебания отличаются лишь постоянным множителем.