2-3. НОРМАЛЬНО ФЛЮКТУАЦИОННОЕ КОЛЕБАНИЕ

Мы будем рассматривать помехи, состоящие из большого количества коротких импульсов, хаотически расположенных по времени. Колебание такой помехи мы будет называть

нормально флюктуационным. Таким колебанием является тепловой шум в проводах, дробовой эффект в электронных лампах, а также в ряде случаев атмосферные и промышленные помехи. Это колебание может быть представлено выражением

где -тый импульс помехи, попавший на участок

Будем считать, что импульсы короткие и начинаются в моменты времени Таким образом,

Отметим, что тут импульсы нумеруются индексами не в порядке их следования по времени, а, скажем, в порядке убывания их амплитуды.

Пусть вероятность того, что попадает на участок длительностью не будет зависеть от положения этого участка в интервале от других импульсов и будет равна

Пусть далее Найдем:

где

Считая, что настолько мала, что за время меняется мало, получим:

где

— площадь импульса.

Слагаемые являются независимыми друг от друга случайными величнами. При увеличении числа этих слагаемых, если они ограничены и сумма их дисперсий неограниченно возрастает, на основании теории вероятностей получим:

где среднее значение; дисперсия величины — случайная величина с законом распределения

Случайные величины с законом распределения (2-34) будем в дальнейшем называть нормальными случайными величинами.

Исходя из (2-33), при достаточно большом можно считать:

Далее из (2-31)

так как по условию

откуда

Назовем величину

интенсивностью колебания тогда

Отметим, что, поскольку сумма должна меняться пропорционально величина о не будет зависеть от

Найдем еще

считая, что

Аналогично сказанному выше получим:

где

и

где нормальная случайная величина, удовлетворяющая, как и уравнению (2-34). Как доказывается в теории вероятностей, будут взаимно независимыми случайными величинами, если

У нас

Отсюда следует, что величины будут взаимно не зависимыми.

Отметим, что это положение и выражения (2-40) и (2-44) будут справедливы и при условии, что если вычесть из колебания его среднее значение и считать достаточно большим. Это обстоятельство доказываться тут не будет, так как для дальнейшего изложения оно не потребуется.

Мы назвали случайную величину 6 нормальной случайной величиной, если вероятность того, что она лежит в интервале будет (2-34).

Из этого определения следует, что вероятность того, что будет:

Значение этого интеграла может быть найдено из таблиц. Функцию мы ввели, так как она в дальнейшем будет очень часто встречаться. Графически она представлена на фиг. 2-1.

Вероятность того, что будет равна

Среднее значение будет:

Среднее значение

Фиг. 2-1.