5-6. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРИ СИГНАЛАХ СО МНОГИМИ ДИСКРЕТНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Наидем оптимальную систему, содержащую сигналов, подобно тому, как в § 4-8 была найдена оптимальная система из двух сигналов.

Пусть имеется система равновероятных сигналов

Покажем, как можно уменьшить среднюю энергию этих сигналов, не изменяя потенциальной помехоустойчивости. Потенциальная помехоустойчивость определяется вероятностью соблюдения неравенств в которые входят разности сигналов. Таким образом, если ввести новые сигналы

то неравенства не изменятся, и, значит, потенциальная помехоустойчивость для сигналов будет одинакова.

Геометрически это означает, что если все точки, соответствующие сигналам, переместить параллельно на одинаковую величину, то расстояния между ними и потенциальная помехоустойчивость, определяемая этими расстояниями, не изменятся.

Найдем, каково должно быть колебание чтобы средняя энергия сигнала

была минимальной,

Пользуясь (5-30), получим:

Если менять так, чтобы оставалась постоянной величиной, то первый и третий члены в фигурной скобке меняться не будут, и минимум наступит, когда будет противоположно т. е.

где — некоторая положительная величина.

Подставляя это значение в (5-32), получим:

Так как выражения под чертой в этом равенстве всегда положительны, то будет минимально, когда максимально, т. е. при

Таким образом, для того чтобы получить среднюю энергию сигналов минимальной, не изменяя помехоустойчивость, нужно взять

Из этого соотношения легко доказать, что

Перейдем к исследованию системы сигналов, которая при заданной потенциальной помехоустойчивости имеет минимальную среднюю энергию. Поскольку мы приняли, что все сигналы равновероятны, можно полагать, что такая система должна содержать равноправные равноудаленные друг от друга сигналы. Возьмем произвольную систему равноудаленных друг от друга сигналов:

Для нее

не зависит от

Выясним, до какой величины можно уменьшить энергию сигналов этой системы, не изменяя ее потенциальную помехоустойчивость.

Образуем систему сигналов:

Эта система будет, как было показано, иметь ту же потенциальную помехоустойчивость, как и система сигналов

Для этой системы энергия сигнала будет равна:

Далее, учитывая, что

после сокращений получим:

Совершенно аналогично

Таким образом, все сигналы имеют одинаковую энергию

Для отыскания потенциальной помехоустойчивости этой системы образуем систему

беря ортогональным ко всем

Подберем величину чтобы все сигналы были взаимно ортогональны, т. е. чтобы выполнялись равенства

при

Для этого необходимо, чтобы

но

поэтому

Таким образом, всегда можно подобрать чтобы сигналы были взаимно ортогональны.

Для последней системы энергия сигналов будет:

Таким образом, сигналы имеют одинаковую энергию и взаимно ортогональны. Для таких сигналов потенциальная помехоустойчивость была найдена. Она определяется формулой (5-12), в которой для данного случая надо подставить

Системы сигналов имеют ту же потенциальную помехоустойчивость.

Итак, все системы из равноудаленных друг от друга сигналов при одинаковом имеют одну и ту же потенциальную помехоустойчивость. Наименьшую возможную среднюю энергию сигнала, равную (5-41), будут иметь те из этих систем, которые получены путем преобразования (5-38). Это будут оптимальные системы (по крайней мере среди семейства систем равноудаленных сигналов).

Оптимальная система сигналов (5-38) может быть образована из произвольной равноудаленной системы например из произвольной системы ортогональных сигналов, имеющих равные энергии.

Оптимальная система несколько выгоднее ортогональной. Действительно, при равной потенциальной помехоустойчивости в оптимальной системе энергия сигналов должна быть:

в ортогональной

т. е. в раз больше. Однако эта разница при большом незначительна.

Рассмотренная в § 4-8 система является частным случаем оптимальной системы при