2-2. ЛИНЕЙНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЯ ПРИ ПОМОЩИ ЕДИНИЧНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ
Если система функций
удовлетворяет уравнениям
где 
то мы ее будем называть системой единичных ортогональных функций.
Примером такой системы функций является система:
поскольку для нее справедливы соотношения
при 
Мы будем говорить, что некоторую функцию 
можно линейно выразить через систему функций
если можно записать:
При этом некоторые 
могут равняться нулю.
Примем, что функции (2-16) являются единичными и ортогональными, тогда, умножая обе части равенства (2-17) скалярно на 
получим после раскрытия скобок с учетом уравнений (2-12) и (2-13):
Коэффициенты 
назовем координатами функции 
в системе (2-16). Очевидно, функция 
полностью характеризуется 
координатами 
если система (2-16) задана.
В частном случае, если в качестве системы единичных ортогональных функций взять систему (2-14), получим:
где
Ряд (2-19) является обычным разложением функции 
в ряд Фурье на 
При этом амплитуда косинуса на частоте в соответствии с (2-14) будет 
и амплитуда синуса 
Если колебание 
является сигналом, то в сумме (2-19) обычно можно брать лишь конечное число членов, скажем, с номерами от 
до 
так как составляющие сигнала за пределами некоторого диапазона частот, как правило, бывают настолько малыми, что они перекрываются составляющими других сигналов, передаваемых на соседних частотах, и помехами.
В этом случае
Пусть 
будут координаты функции 
в системе (2-16), а 
координаты функции 
в той же системе. Тогда
как это нетрудно получить, раскрыв скобки и использовав уравнения (2-12) и (2-13).
Отсюда как частный случай получим:
Если 
некоторая единичная функция с координатами 
то
Затем, если функции 
ортогональны, то в соответствии с формулой (2-22) и условием ортогональности (2-10) получим:
Выражения (2-22), (2-23) и (2-25) аналогичны соответствующим выражениям векторного исчисления. Наконец, докажем, что если две функции
не имеет составляющих с одинаковыми частотами, т. е. для всех индексов всегда хотя бы одна из величин 
или 
равна нулю, то
Действительно, при этих условиях
и далее всегда
откуда непосредственно следует формула (2-26).
