6-4. ОШИБКИ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОМЕХЕ МАЛОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ

Пусть при приходе колебания приемное устройство, не обязательно идеальное, будет воспроизводить некоторый параметр Я, который является функцией этого колебания. Определим среднюю квадратическую ошибку, которая при этом получится. Как уже говорилось в § 6-2, вероятность того, что пришедшем колебании передававшийся параметр лежал в пределах будет Это будет также вероятностью того, что воспроизводимое приемником значение параметра будет иметь ошибку, лежащую в пределах Поэтому средняя квадратичеекая ошибка в этом случае будет определяться выражением

поскольку всегда

Как видно из этой формулы, 8 будет меняться в зависимости от выбора по параболическому закону и будет иметь при некотором наименьшую величину.

Продифференцировав 8 по и приравнивая эту производную нулю, мы получим уравнение для в таком виде:

откуда

или, что то же, является абсциссой центра тяжести площади под кривой

Величину мы будем называть оптимальным значением параметра .

При приходе колебания наименьшее значение средней квадратической ошибки которое наступает, если приемник будет воспроизводить значение будет определяться выражением

Следует отметить, что в случае, когда является одногорбой симметричной кривой, абсцисса центра тяжести этой кривой, очевидно будет совпадать с абсциссой максимального значения и, значит, для этого случая

Отсюда на основании результата предыдущего параграфа можно утверждать, что при достаточно малой помехе, когда определяется гауссовой кривой вероятностей, которая симметрична, будут равны, и идеальный приемник будет давать минимальную среднюю к в -тическую ошибку.

На основании формул (6-16) и (6-14) можно найти эту ошибку. Она будет:

Это будет наименьшая возможная ошибка при достаточно малой . Она будет получаться при идеальном приемнике и будет, очевидно, определять потенциальную помехоустойчивость при малых помехах. Под малыми помехами мы тут и в дальнейшем будем подразумевать помехи с достаточно малой

интенсивностью для того, чтобы рассуждения § 6-3 были справедливы.

Как видно из формулы (6-18), потенциальная помехоустойчивость при передаче параметра пропорциональна удельной энергии колебания являющегося производной сигнала по передаваемому параметру.

При помощи формулы (6-16) можно определить среднюю квадратическую ошибку и при больших интенсивностях помехи. Однако при помощи этой ошибки оценить потециальную помехоустойчивость затруднительно. Дело в том, что при больших о характер функции начинает зависеть от приходящего колебания таким образом, определяемая по формуле (6-16), также будет зависеть от . В этом случае для оценки помехоустойчивости необходимо еще оценивать вероятность тех или иных значений что приводит к ряду математических трудностей. К вопросу об оценке потенциальной помехоустойчивости при больших интенсивностях помех мы еще вернемся в гл. 8.

Найдем еще вероятность того, что идеальный приемник при малых помехах воспроизведет значение передаваемого параметра с ошибкой, превосходящей по абсолютному значению величину

Очевидно, эта вероятность будет равна:

Используя формулу (6-14) и принимая во внимание обозначения, принятые в формуле (2-47), мы получим: