в. Колебания линейной цепочки.

Поскольку анализ колебаний дискретной среды, какой является кристалл, имеет фундаментальное значение для многих разделов физики, мы обсудим этот вопрос несколько более подробно.

Прежде всего рассмотрим одномерный кристалл, т.е. линейную цепочку из атомов, расположенных на расстоянии друг от друга; на эти атомы действуют силы, которые пропорциональны смещениям от положений равновесия и которые возвращают атомы обратно в их положение равновесия. Общая длина цепочки Теория показывает, что нормальные, или собственные, колебания такой дискретной цепочки геометрически совпадают с нормальными стоячими колебаниями непрерывной цепочки, закрепленной на обоих концах (например, непрерывной струны). Пусть -смещение от положения равновесия частицы с координатой Соответствующие стоячие волны можно описать уравнением

где волновое число, X — длина волны и частота колебаний Как и у струны, концы этой цепочки должны быть узловыми точками. Следовательно, длина должна содержать целое число полуволн, откуда где . Частоту можно найти, решая динамическое уравнение, описывающее эти колебания 2). Для малых частот (малых однако в случае больших появляются существенные отклонения от этого линейного соотношения.

Теперь рассмотрим последовательность колебаний, соответствующих для которых бесконечно уменьшается и, следовательно, бесконечно увеличивается. Прежде всего ясно, что, как только

станет больше когда станет меньше или о больше для каждого из этих колебаний с волновым числом с смещение точек решетки будет иметь точно такую же величину, как и для колебания с волновым числом Длина волны первого вида колебаний меньше а второго — больше На фиг. 33, а и б это показано для цепочки длиной содержащей 11 точек решетки, для Сейчас мы будем интересоваться лишь значениями смещений для узлов решетки. Таким образом, мы можем сказать, что для дискретной цепочки точек указанные два решения идентичны. Итак, каждое решение для идентично решению, соответствующему волновому числу Если то это решение идентично решению, соответствующему волновому числу Математически это доказывается весьма просто: если с возрастает на то аргумент синуса в уравнении (11.4) увеличивается на Поэтому значение синуса также изменится; однако в точках аргумент увеличивается на целое кратное от следовательно, в этих точках синус, а соответственно и смещение остаются неизменными.

Итак, мы можем ограничиться рассмотрением волновых чисел, которые меньше что соответствует значениям меньшим Однако в этом интервале также имеются пары идентичных колебаний: колебание с волновым числом с идентично колебанию с волновым числом а. На фиг. 33, а это показано для волновых чисел а, равных Единственное отличие между этими колебаниями заключается в разности фаз, которая равна 180°, что, конечно, несущественно. Это также можно легко проверить математически: для волнового числа аргумент синуса равен в узлах решетки он имеет значение Синус этого аргумента равен синусу т. е. равен начальному значению, если не учитывать знака. Таким образом, мы можем считать идентичными любые два колебания в интервале от О до волновые числа которых лежат симметрично относительно значения Следовательно, можем ограничиться

рассмотрением таких видов колебаний, для которых волновое число меньше или для которых меньше

Интервалы, на которые мы разделили значения а, в честь Бриллюэна называются зонами Бриллюэна, Таким образом, мы можем сказать, что нам нужно рассматривать только первую зону Бриллюэна.

Фиг. 33. Колебания линейной цепочки при

В этой зоне число независимых колебаний точно равно общему числу частиц а длина волны изменяется от до Таким образом, длина волны колебания, соответствующего границе первой зоны Бриллюэна, равна удвоенной постоянной решетки. Следовательно, при этом колебании атомы в соседних узлах решетки колеблются с разностью фаз 180°.