§ 8. Температура

а. Определение температуры.

В § 1 мы ввели температуру как основной параметр, который наряду с другими величинами используется для описания состояния термодинамической системы; однако мы не обсудили вопрос об ее измерении и не дали ее определение. Прежде чем перейти к дальнейшему изложению термодинамики, мы должны более подробно исследовать понятие температуры, чтобы иметь возможность вывести новые количественные соотношения.

До сих пор не было необходимости вводить определение температуры: в § 6 и 7 мы просто употребляли понятие «более высокой» и «более низкой» температуры. Для этого было достаточно знать, что температура системы А выше температуры системы В, если при установлении теплового контакта между возникает тепловой поток от А к В.

Как известно, определение температурной шкалы при помопхи ртутного термометра имеет много недостатков. Исключая трудности технического порядка, наиболее важным недостатком является произвольность в выборе материалов (стекла и ртути). Заполним термометр жидким сероуглеродом и отметим положение уровня в двух фиксированных точках: плавления льда (0°) и кипения воды при нормальных условиях (100°С),

как это делается на ртутных термометра. Определим промежуточные температуры, разделив отрезок на 100 равных частей. Если теперь в теплобую баню, температура которой по ртутному термометру равна 50°, поместить термометр с то он покажет всего 49,5°.

Произвольность в выборе материалов частично устраняется введением так называемой шкалы Авогадро, или идеальной газовой шкалы. В этом случае мерой температуры является давление разреженного газа при постоянном объеме. Оказывается, что в разреженном состоянии все газы удовлетворяют одному и тому же уравнению состояния: при постоянном объеме давление пропорционально температуре, отсчитанной по ртутному термометру. Ввиду недостатков ртутного термометра вместо него для измерения температуры лучше использовать давление разреженного газа. Газовая шкала, определенная при помопхи закона Бойля близко соответствует шкале ртутного термометра, но гораздо точнее и не зависит от свойств газа (см. часть I, § 2). В действительности разреженный газ не является идеальным, и поэтому мы должны вводить поправки в отсчеты давления по газовому термометру при постоянном объеме, которые обусловлены неидеальностью используемого газа.

б. Определение температуры в термодинамике.

Наконец, мы должны определить температуру в областях очень низких и очень высоких температур, где газовый термометр неприменим. Оказалось, что можно ввести термодинамическую шкалу температур, которая не зависит от свойств используемого вещества и которая основана только на измерениях количеств тепла и работы. Было установлено, что эта «термодинамическая» шкала, введенная Кельвином, совпадает с идеальной газовой шкалой.

Рассмотрим два тепловых резервуара и с температурами, равными соответственно Мы можем узнать, какая из температур выше, определяя направление потока тепла при установлении теплового контакта между Предположим, что Тепло само потечет от но, согласно второму началу

термодинамики, потребуется некоторая работа, чтобы при помощи циклического процесса перенести тепло от Итак, чтобы взять некоторое количество тепла из и перенести его в необходимо совершить работу. Оказывается, что это количество работы зависит от разности температур приблизительно измеренной обыкновенным термометром.

Эксперименты показывают (вскоре мы это рассмотрим более подробно), что количество работы увеличивается пропорционально относительной разности температур между двумя тепловыми источниками. В случае неквазистатического циклического процесса работа зависит от вида циклического процесса и рабочего вещества, но, как мы увидим ниже, если циклический процесс является квазистатическим, то работа не зависит от рабочего вещества. Итак, очевидно, что измерение работы, необходимой для переноса единицы количества тепла от к является идеальным способом определения шкалы температур.

Теперь определим относительную разность температур следующим образом. Относительная разность температур между двумя тепловыми резервуарами равна количеству работы, необходимой для переноса единицы тепла от при помощи квазистатического циклического процесса:

Это определение имеет смысл лишь в том случае, когда мы можем доказать, что частное не зависит от природы квазистатического циклического процесса, который переносит тепло от к

Начнем это доказательство с описания квазистатического циклического процесса, способного перенести тепло от Для простоты рассмотрим циклический процесс, совершаемый газом или царом. Сначала приведем газ в соприкосновение с Тогда газ дрлжен поглотить из количество тепла этого можно достичь, предоставив газу возможность совершить внешнюю работу. Если к газу не подводится тепло, то внешня работа будет совершаться за счет внутренней энергии

газа уменьшение внутренней энергии газа должно скомпенсироваться подводом тепла из После того как газ получил количество тепла мы должны изолировать его от

Поскольку теперь тепло должно быть передано резервуару необходимо сначала без подвода тепла повысить температуру газа до температуры которой обладает . В противном случае тепло не может быть передано резервуару обратимым и, следовательно, квазистатическим образом. (Поток тепла между двумя телами с различной температурой является типичным необратимым процессом и самопроизвольно может происходить только в одном направлении.)

Этого можно достичь адиабатическим сжатием газа (при таком сжатии энергия а значит, и температура увеличиваются), пока его температура не станет равной температуре резервуара Затем приведем в соприкосновение с газом и будем сжимать газ изотермически, так что определенное количество тепла перейдет к резервуару При сжатии мы выбираем конечное давление таким, чтобы газ, когда мы его снова изолируем и дадим ему возможность адиабатически расширяться, вернулся к своему начальному состоянию с температурой

Такой квазистатический циклический процесс, который переносит тепло от низкотемпературного к высокотемпературному источнику обратимым образом, называется циклом Карно и впервые был описан Карно Этот цикл показан на фиг. 15 для случая, когда он совершается с идеальным газом. Так как мы хотим передать тепло от резервуара с более низкой к резервуару с более высокой температурой, для чего должна быть совершена работа, цикл на фиг. 15 проводится в отрицательном направлении.

Общее количество затраченной работы численно равно площади цикла. Во время изотермического расширения 1 к газу подводится тепло это тепло вместе с теплом, в которое превращается совершенная внешняя работа, передается при более высокой температуре во время изотермического сжатия Линии являются адиабатами, т. е. на этих ступенях цикла тепловой контакт между газом и резервуаром отсутствует. (Очевидно, что цикл Карно может быть обращен, поскольку все используемые процессы являются квазистатическими. В обратном процессе тепло поглощается из частично превращается в работу а остаток переходит

Фиг. 15. Квазистатический перенос тепла от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой при помощи цикла Карно.

Теперь мы должны доказать, что отношение имеет одно значение для всех циклов Карно, выполняемых между одними и теми же тепловыми резервуарами независимо от рабочего вещества циклов Чтобы это утверждение было верно, когда температуры резервуаров заданы, работа на перенос единицы количества тепла от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой должна быть всегда одной и той же. Доказывается это очень просто. На фиг. 16 условно показаны две системы совершающие два различных цикла Карно, которые оба по определению являются квазистатическими процессами. Пусть на каждый из этих циклов затрачивается одинаковое количество тепла которое поступает из на что требуется работа в первом цикле и работа втором цикле.

Обратим теперь второй цикл и проведем эти два цикла одновременно. Тепло, извлеченное из при осуществлении первого цикла, в точности равно теплу, отдаваемому в при осуществлении второго цикла, так что мы можем обходиться без теплового резервуара Тогда остаются два циклических процесса, проводимых одновременно и связанных только с одним тепловым резервуаром .

Фиг. 16. Два процесса, используемых для доказательства равенства количеств работы и 12, необходимых для переноса тепла от к посредством циклов Карно, выполненных с разными рабочими веществами.

В первом цикле мы должны совершить работу тогда как второй цикл производит работу Так как больше полная работа, произведенная этими двумя циклами вместе, равна

Необходимое для этой работы тепло должно, согласно первому закону, поступать из поскольку контакт с отсутствует. Но этот результат противоречит второму началу термодинамики, согласно которому тепло, извлеченное из одного резервуара, невозможно превратить в работу при помощи циклического процесса. Итак, заведомо не может быть больше Проверив предположение, что больше мы получим точно Тйким же путем, что это невозможно. Итак, согласно второму началу термодинамики, имеется лишь одна возможность: Отсюда следует, что работа, необходимая для переноса порции тепла от к не зависит

от рабочего вещества, с которым совершается циклический процесс. Действительно, отношение одинаково для всех этих циклов Карно и может зависеть только от температур двух тепловых резервуаров к и

Итак, мы имеем право использовать для определения шкалы температур; далее мы покажем, что выбранная таким образом температурная шкала может быть легко реализована, так как она совпадает с газовой температурной шкалой.

в. Совпадение температурной шкалы, основанной на свойствах идеального газа, с термодинамической температурной шкалой.

Чтобы доказать совпадение газовой и термодинамической температурных шкал, проведем цикл Карно с идеальным газом и вычислим Рассмотрим цикл Карно на фиг. 15. На участке изотермы 1 2 мы имеем так как энергия идеального газа зависит только от его температуры. Поскольку (где — температура по газовой шкале), количество тепла поглощенного на участке согласно первому началу термодинамики, равно работе, совершенной расширяющимся газом:

Таким же образом находим, что количество тепла отданного резервуару на участке равно

Так как разность равна совершенной над газом работе, мы имеем

Теперь мы обратимся к адиабатам и заметив, что, согласно определению адиабаты,

Разделив (8.3) на 6 и проведя интегрирование на участке получим

аналогично для участка 4-1

Но и зависит только от температуры 9, так что зависит только от температур начального и конечного состояний. Поскольку пределы интегрирования в (8.4) и (8.5) одинаковы, эти два интеграла тоже равны, откуда

или

Подставляя этот результат в (8.2), непосредственно получаем

Итак, мы доказали, что величина равна относительному увеличению температуры по газовой шкале. Сравнение определения (8.1) термодинамической температуры с выражением (8.7) показывает, что температура пропорциональна температуре 8 по газовой шкале. Если для обеих шкал положить разность между температурой кипящей воды при давлении 76 см и температурой тающего льда равной 100°, то эти две шкалы становятся идентичными.

Таким образом, мы ввели шкалу температур иисто термодинамическим путем; измерение разности температур

сведено к измерению количества работы, необходимой для переноса тепла от резервуара с более низкой к резервуару с более высокой температурой при помощи произвольного квазистатического циклического процесса. Мы подчеркиваем, что ни для определения, ни для доказательства разумности определения нет нужды использовать идеальный газ; хотя, конечно, идеальный газ упоминался, когда мы показывали, что газовая шкала температур идентична с термодинамической шкалой. Таким образом, в дальнейшем нам не нужно будет различать эти две шкалы, и когда мы будем говорить о температуре, мы всегда будем подразумевать температуру, определенную по одной из этих двух шкал.

г. Доказательство идентичности радиационной и термодинамической температурных шкал.

Теперь мы покажем, что температурная шкала, определенная при помощи закона Стефана — Больцмана (см. часть I, § 16), идентична термодинамической шкале.

Мы должны использовать два свойства, относящихся к плотности излучения и к давлению излучения (см. часть I, § 14 и 15). Во-первых, величина и, входящая в выражение для полной энергии излучения (где V — объем, занятый излучением), не зависит от и определяется температурой стенок полости по закону Во-вторых, радиационное давление Теперь вообразим, как и в случае идеального газа, что излучение заключено в цилиндр, закрытый подвижным поршнем. Этот цилиндр мы можем, по желанию, или полностью изолировать или привести в тепловой контакт с тепловым источником. С таким цилиндром, «наполненным» излучением, снова проведем цикл Карно. Для удобства будем ссылаться на фиг. 15.

Подведенное на участке количество тепла равно

плотность излучения и можно вынести за знак интеграла, так как она постоянна в течение этого изотермического процесса. (Плотность излучения, соответствующая температуре обозначается буквой а соответствующая температуре — буквой )

Таким же образом находим, что количество тепла отданное в течение изотермического процесса при более высокой температуре, равно

Итак, отношение которое определяет относительную разность температур, будет равно

Согласно определению адиабаты,

(Здесь так как изменяются во время адиабатического процесса.) Разделив это выражение на получим для адиабаты

или

Таким же способом для адиабаты находим

При помощи и (8.13) мы можем преобразовать выражение для

Поскольку плотность излучения и пропорциональна величина и пропорциональна следовательно, температурная шкала, определенная с помощью закона действительно идентична термодинамической шкале температур. Обратно, мы можем вывести закон Стефана — Больцмана чисто термодинамическим путем, исходя из выражения (8.14), так как (8.1) и (8.14) показывают, что величина пропорциональна

Аналогичным образом можно показать, что «магнитная» шкала температур, определенная при помощи закона Кюри, совпадает с термодинамической шкалой.