г. Колебания двумерной решетки.

Предыдущее рассмотрение колебаний линейной цепочки нужно теперь

обобщить сначала на двумерную, а затем на трехмерную решетку.

Рассмотрим двумерную решетку из атомов, имеющую простую квадратную структуру с постоянной решетки Колебания этой решетки снова аналогичны колебаниям сплошной мембраны. В случае струны мы могли интерпретировать стоячую волну как результат интерференции двух бегущих волн, сумма которых удовлетворяет краевым условиям.

Фиг. 34. Колебания квадратной мембраны. Сплошные прямые обозначают узловые линии; знаки указывают направления смещений, нормальних к плоскости фигуры; пунктиром изображены перемещающиеся узловые линии бегущей волны, которая образует стоячие волны после отражения от границ мембраны. В настоящем случае стоячие волны также можно интерпретировать как результат взаимодействия бегущих волн, длины волн и направление фронтов которых таковы, что после отражения от закрепленных краев мембраны они «удовлетворяют» мембрану).

Картина колебаний плоской мембраны схематически показана на фиг. 34. Знаки « + » и «-» указывают

направления движения в фиксированный момент времени различных участков, на которые мембрана разделена узловыми линиями. Пунктирными линиями показаны бегущие волны, на которые можно разложить стоячие волны. Длины волн в направлении осей равны соответственно где являются направляющими косинусами нормали к фронту волны. Волновое число с равно являются соответственно волновыми числами волн, распространяющихся вдоль осей . Итак, мы можем представить волновое число о в виде вектора, перпендикулярного к фронту волны, с компонентами по осям равными

Волны будут удовлетворять краевым условиям квадратной мембраны с ребром если

так что компоненты волнового вектора определяются выражениями

Смещения находим из выражения

Поскольку мы рассматриваем не колебания мембраны, а колебания двумерной решетки, мы можем показать точно таким же образом, как это было сделано для линейного случая, что представляют интерес лишь колебания с такой длиной волны, для которой меньше (потому что колебания, у которых хотя бы одна компонента волнового числа больше не отвечают новым типам колебаний дискретной решетки). Значения в первой зоне Бриллюэна ограничены максимальным значением

так что общее число колебаний внутри этой зоны равно