в. Плотность излучения.

Для пространства внутри полости, окруженной стенками, нагретыми до некоторой определенной температуры можно говорить о плотности излучения и, которая определяется как энергия излучения в единице объема. Стенки полости непрерывно испускают излучение, и, наоборот, энергия, заключенная внутри полости, непрерывно поглощается стенками. Равновесие установится в том случае, если энергия, поглощаемая стенками в 1 сек, равна энергии, излучаемой стенками в 1 сек). Предположим вначале, что стенки полости являются абсолютно черными. Тогда можно показать, что плотность равновесного излучения и внутри полости равна

где с — скорость света, а индекс указывает, что соответствует черному телу. Итак, плотность равновесного излучения пропорциональна излучательной способности. Обе величины одинаково зависят от температуры и длины волны.

Нетрудно проверить формулу (14.3). Энергия, испускаемая в 1 сек элементом поверхности стенки внутрь телесного угла, показанного на фиг. 40, равна Здесь элемент поверхности небольшого объема для которого мы хотим вычислить плотность излучения. Поскольку количество энергии, испускаемой в 1 сек, движется со скоростью с, оно содержится в объеме откуда соответствующая плотность равна

Фиг. 40. К вычисленик плотности излучения и три полости, окруженное черными стенками (предпо лагается, что объем очеш мал).

Итак, количество излучения в элементе объема переносимое пучком, равно произведению вычисленной плотности на объем цилиндра вырезанный телесным углом из т. е. равно

Теперь просуммируем вклады всех пучков, испускаемых площадкой и пересекающих Если объем мал по сравнению с размерами полости, то для всех пучков можно считать одинаковыми, откуда полная энергия, поступающая в объем с элемента поверхности равна

Однако есть площадь. нормального сечения телесного угла, который опирается на и в вершине которого находится элемент объема Таким образом, элемент поверхности виден из под телесным углом Сложим теперь вклады в энергию в , вносимые всеми элементами поверхности Поскольку величина является константой, достаточно сложить все телесные углы Это дает откуда

энергия в объеме равна

Плотность энергии в объеме равна последнему выражению, деленному на откуда

Полученное выражение справедливо, конечно, для каждой из длин волн в отдельности.

В приведенном выводе мы предполагали, что стенки полости являются абсолютно черными. Если это не так, то один и тот же пучок после отражения от стенки может снова пересечь объем и снова внести вклад в энергию этого объема; тогда наши рассуждения уже несправедливы. Следовательно, можно было бы думать, что плотность энергии внутри полости зависит от свойств стенок. Однако мы можем дать совершенно общее доказательство того, что это не так.

Для этой цели произведем мысленный опыт. Рассмотрим две полости одинаковой температуры, одна из которых окружена абсолютно черными стенками, а другая — стенками, не являющимися абсолютно черными. Сделаем отверстия в полостях таким образом, чтобы излучение могло переходить из одной полости в другую. Теперь предположим, что, несмотря на равенство температур стенок, плотности излучения в полостях неодинаковы. Тогда из полости с большей плотностью в полость с меньшей плотностью будет переходить большее количество излучения, нежели в обратном направлении, так что температура второй полости будет повышаться за счет первой полости, пока плотности в обеих полостях не станут равными. Итак, одно из двух тел, имевших вначале одинаковую температуру, должно было бы нагреться за счет другого. Однако мы знаем из опыта, что такой процесс невозможен (мы это обсудим более подробно в связи со вторым законом термодинамики; см. часть И, § 9). Следовательно, плотность равновесного излучения внутри полости зависит только от температуры и не зависит от свойств окружающих ее стенок.

Если отверстия полостей закрыть фильтрами, прозрачными только для излучения некоторой определенной длины волны, то мы можем повторить наше доказательство для каждой из длин волн в отдельности.