е. Теория Дебая.

Для вычисления средних энергий при помощи выражения (11.1) нужно определить частоты, соответствующие допускаемым волновым числам. Для этого необходимо решить динамическое уравнение движения. Подобные расчеты выполнили Борн, Карман

и Блэкман. Они показали, что для каждого значений о должно быть три решения (в случае, когда волновой вектор параллелен одной из кристаллических осей, мы можем интерпретировать эти решения как частоты двух поперечных и одной продольной стоячих волн с волновым числом а). Каждому из этих колебаний можно приписать среднюю колебательную энергию (11.1), и тогда полная энергия кристалла равна сумме вкладов каждого из типов колебаний. Дифференцируя эту сумму по температуре, мы найдем удельную теплоемкость.

Дебай пренебрег дискретной структурой твердого тела, что значительно упростило задачу и позволило ему (в 1912 г.) вычислить непосредственно без решения динамического уравнения. Это возможно потому, как указал Дебай, что при низких температурах, когда преобладают квантовые законы, существенное значение имеют лишь колебания с малой энергией т. е. с низкой частотой, а следовательно, с большой длиной волны, так как только эти колебания дают заметный вклад в энергию. Но в случае длинных волн мы можем пренебречь дискретной структурой кристалла и полагать, что где с — скорость распространения в нем звука. Поскольку высокие частоты, т. е. малые длины волн, не дают вклада в энергию, Дебай предположил, что его соотношение справедливо для всех длин волн.

Поскольку Дебай пренебрег дискретной структурой при расчете допустимо пренебречь конкретной формой первой зоны Бриллюэна и принять в качестве ее границы не куб, а октант сферы такого радиуса, чтобы число типов колебаний внутри этого октанта было равным (см. фиг. 35). Итак, объем октанта должен быть равен объему куба. Пусть радиус октанта, т. е. максимальное значение а, есть тогда мы должны положить

Отсюда, согласно Дебаю, минимальная длина волны одинакова для всех направлений распространения и

приблизительно в 1,61 раза больше постоянной решетки. Максимальное значение частоты определяется условием используя соотношение находим, что

Число собственных колебаний с частотами в пределах от равно числу узловых точек в -пространстве между Все эти точки лежат в положительном октанте -пространства между двумя концентрическими сферами с радиусами таким образом, соответствующий объем равен . В среднем одна точка приходится на объем в -пространстве, откуда числе собственных колебаний между будет составлять

Согласно квантовой теории, каждое из этих колебаний имеет среднюю энергию (11.1); следовательно, полную энергию можно найти путем умножения на (11.1) и интегрирования по всем частотам от 0 до

Число колебаний имеет множитель 3, так как каждый вид колебания соответствует двум поперечным и одной продольной стоячим волнам. Как и в соответствующей теории Эйнштейна, введем характеристическую температуру и исключим подставляя значение в соответствии с (11.8). Тогда выражение для приобретает вид

в последнем интеграле введена переменная Можно видеть, что этот интеграл зависит только от верхнего предела таким образом, мы можем записать

Это выражение можно сравнивать с (11.2).

При высоких температурах так что интеграл делается равным энергия равной как и следовало ожидать. При низких температурах и становится меньше при очень низких температурах верхний предел интеграла можно заменить на после чего интеграл приобретает значение т. е. не зависит от Итак, при очень низких температурах и имеют вид

Это известный дебаевский -закон для теплоемкости твердых тел при очень низких температурах. Как мы уже знаем, закон находится в хорошем соответствии с опытными данными (см. кривую 1 на фиг. 32), что оправдывает использование приближения, введенного Дебаем. Однако в области температур, где высокие частоты еще дают заметный вклад в теплоемкость, имеются отклонения от -закона, которые можно объяснить на основе рассмотрения Блэкмана. При температурах, больших по сравнению с теория Дебая снова дает правильный результат, так как при высоких температурах величина энергии стремится к классическому значению