б. Расчет давления в кинетической теории газов.

Уравнение состояния идеального газа было теоретически выведено сначала Д. Бернулли (1738 г.), Джоулем (1851 г.), Крёнигом (1856 г.) и в окончательной форме Клаузиусом (1857 г ). Будем считать, что молекулы являются очень малыми точечными телами (с массой и движутся в пространстве прямолинейно со скоростью V, имеющей компоненты .

Предположим, что стенка сосуда совершенно гладкая, так что молекулы отражаются от нее подобно тому, как свет отражается от зеркала. Поместим эту совершенно гладкую и твердую стенку перпендикулярно оси как показано на фиг. 1, и положим, что некоторая молекула претерпевает столкновение в плоскости Компоненты скорости после столкновения должны в таком случае удовлетворять соотношениям и

Давление, оказываемое молекулами на стенку, равно среднему значению силы, действующей на единицу площади стенки вследствие ударов молекул. Согласно

одному из основных законов механики, сила, действующая на тело, равна изменению количества движения за единицу времени, а именно Таким образом, средняя сила, действующая на молекулы со стороны стенки, равна изменению в единицу времени общего количества движения молекул в направлении, перпендикулярном к стенке. Сила, действующая на стенку со стороны молекул, равна этой же средней силе но направлена в обратную сторону.

Чтобы рассчитать изменение количества движения в направлении, перпендикулярном к стенке, для молекул, соударяющихся с элементом поверхности 1 сек, подсчитаем сначала количество молекул, достигающих этого элемента поверхности в течение 1 сек. Рассмотрим пока только те молекулы, скорость которых по величине и направлению равна тогда все молекулы, находящиеся в изображенном на фиг. 1 параллелепипеде с ребром и основанием ударятся о стенку в течение 1 сек. Количество этих молекул численно равно объему параллелепипеда умноженному на число молекул в единице объема, имеющих скорость V, т. е. равно Изменение количества движения каждой из этих молекул равно следовательно, полное изменение количества движения всех молекул этой группы, соударяющихся за 1 сек с элементом поверхности будет равно Чтобы найти общее изменение количества движения всех молекул, сталкивающихся с за 1 сек, необходимо сложить вклады всех молекул, обладающих различными значениями Обозначая суммирование по всем этим молекулам через получаем, что давление

Фиг. 1. Столкновение молекулы с абсолютно гладкой и упругой стенкой.

Суммирование следует производить лишь по тем молекулам. которые движутся слева направо, так как только эти молекулы действительно соударяются со стенкой. Если обозначить среднее значение через тогда, согласно определению среднего, величина равна сумме для всех движущихся направо молекул, деленной на их число. Итак,

Подставляя в (2.3), получаем

Предположим теперь, что движение молекул происходит совершенно беспорядочно, т. е. они движутся по всевозможным направлениям и что средние значения числа молекул, движущихся в любом из этих направлений, одинаковы. Тогда среднее значение не зависит от направления и поэтому Если численное значение скорости молекулы независимо от направления ее движения, то из соотношения получим откуда

Итак, давление пропорционально числу молекул в единице объема и среднему значению кинетической энергии молекулы. Умножая на число молекул в единице объема, мы получаем плотность энергии

Давление равно от плотности кинетической энергии газа.

Если обозначить через число Авогадро, т. е. число молекул в одном киломоле, объем которого равен V, то

Подставляя в (2.5), получаем

Таким образом, мы получили уравнение состояния (2.2) для идеального газа, если предположить, что значение при заданной температуре не зависит от давления и что возрастает прямо пропорционально температуре согласно соотношению

где означает массу одного киломоля газа. Квадратный корень из среднего значения квадрата скорости называется «средней квадратичной скоростью», которая определяется выражением

Интересно отметить, что формула (2.9) позволяет вычислить среднюю квадратичную скорость только по макроскопическим величинам: давлению и плотности при этом не нужно делать каких-либо предположений о свойствах или массе молекул. В табл. 1 приведены рассчитанные по формуле (2.9) значения для ряда газов.

Таблица 1

Средняя квадратичная скорость при 15° С