д. Колебания трехмерной решетки.
Для простоты будем рассматривать трехмерную решетку, содержащую
атомов, расположенных на расстоянии
друг от друга и образующих простую кубическую структуру с
атомов вдоль каждого из ребер длиной
так что форма кристалла также является кубической. Каждый тип колебания определяется тремя компонентами волнового вектора
где
углы между тремя ребрами куба и нормалью к фронту бегущей волны, которую мы используем и в этом случае для формирования стоячей волны. Требование, чтобы волна удовлетворяла краевым условиям куба, имеет вид
Максимальное значение каждой из компонент волнового вектора также равно
следовательно, числа
изменяются в пределах от 0 до
Таким образом, общее число колебаний внутри первой зоны
Бриллюэна равно
Для описания различных типов колебаний кристалла удобно ввести так называемое пространство волновых чисел, или
-пространство. Аналогично случаю распределения скоростей молекул, когда мы изображали компоненты скоростей молекул в трехмерном пространстве скоростей —
-пространстве (см. § 3), мы будем изображать компоненты волнового числа различных типов колебаний кристалла в
-пространстве. Это
-пространство показано на фиг. 35. Каждое колебание изображается одной точкой с координатами а, а и а. Координаты точек, которые представляют стоячие волны в кристалле, являются, согласно (11.7), целыми кратными от
следовательно, эти точки являются также
и узловыми точками простой кубической решетки с постоянной решетки
Границы первой зоны Бриллюэна в
-пространстве образуются гранями куба с ребром
как показано на фиг. 35. Вдоль каждого из ребер размещается
точек, так что общее число точек внутри куба снова, конечно, равно
Однако следует подчеркнуть, что сходство между
-пространством решеткой колебаний и границей зоны, с одной стороны и реальной атомной решеткой кристалла, с другой стороны, имеет место лишь в случае простой кубической структуры кристалла. Для других кристаллических структур это соответствие становится более сложным, и мы не будем здесь его рассматривать.
Фиг. 35. пространство волнового числа, или
-пространство, с границами первой зоны Бриллюэна (куб) и с границами первой зоны Бриллюэна в приближении Дебая (октант сферы).