§ 3. Распределение молекул по скорости их движения

а. Распределение Максвелла.

В предыдущем параграфе мы не занимались подробным исследованием распределения молекул по скоростям, так как оказалось, что давление зависит только от среднего значения Достаточно было лишь сделать предположение, что распределение скоростей является случайным в том смысле, что скорости молекул равномерно распределены по всем направлениям в пространстве. Теперь мы более подробно исследуем распределение молекул по различным скоростям; это распределение было выведено Максвеллом и Больцманом. Для этой цели введем понятие пространства скоростей, использованное Максвеллом: для каждой молекулы откладываем компоненты ее скорости по трем взаимно перпендикулярным осям (фиг. 2). Таким образом, каждая точка в пространстве скоростей соответствует одной молекуле с определенной скоростью. Вектор скорости молекулы изображается, очевидно, вектором, идущим от начала координат к рассматриваемой точке.

Рассмотрим теперь распределение молекул, содержащихся в единице объема газа, по скоростям. Эти молекул в пространстве скоростей будут изображаться совокупностью из точек. Вследствие непрерывного столкновения молекул точка в пространстве скоростей, характеризующая какую-то определенную молекулу, будет все время перемещаться. Следовательно, какие-то точки будут непрерывно выходить из выбранного в

пространстве скоростей элемента объема, - а некоторые другие входить извне в этот объем.

Если газ находится в стационарном состоянии, т. е. отсутствуют какие-либо макроскопические изменения, то число точек в выбранном элементе объема пространства скоростей будет сохранять свое среднее значение, не считая малых флуктуаций. Если объем этого элемента в пространстве скоростей, равный достаточно мал, то среднее число точек в нем пропорционально его объему, т. е. равно .

Фиг. 2. Пространство скоростей молекул.

В этом выражении есть среднее число точек в единице объема пространства скоростей, или, более строго, их «плотность» вблизи точки, определенной вектором скорости с компонентами . Величина есть число молекул газа, имеющих скорости с компонентами в пределах от до от до и от до

В предыдущем параграфе мы уже использовали тот факт, что для газа в стационарном состоянии имеет место изотропное распределение скоростей молекул по всем направлениям в пространстве. Отсюда следует, что и в пространстве скоростей не может быть преимущественных направлений, т. е. плотность должна быть сферически симметричной относительно начала координат.

Однако это условие еще не определяет вид распределения скоростей. На фиг. 3 показаны три различных распределения, удовлетворяющих условию сферической симметрии: на фиг. 3, а изображающие точки равномерно распределены по объему сферы радиусом на фиг. 3,б эти точки равномерно распределены в пространстве между двумя сферами. В первом случае учитываются только скорости, меньшие а во втором случае все скорости лежат в пределах от до

Фиг. 3. Различные сферически симметричные распределения скоростей (в — стационарное распределение Максвелла).

Как мы уже отмечали, искомое распределение является средним распределением, поскольку имеет место непрерывное движение изображающих точек вследствие столкновений молекул. Поэтому распределение, представляющее данный газ «в среднем», не должно меняться в результате столкновений молекул: оно должно быть стационарным распределением, т. е. постоянным во времени. Распределения, представленные на фиг. 3, а и б, не удовлетворяют этому условию, так как столкновение двух молекул со скоростями может легко вызвать большое увеличение или уменьшение их скоростей, что привело бы к непрерывному нарушению начального распределения. Распределение, которое удовлетворяет этому дополнительному требованию, было выведено Максвеллом; оно имеет вид

где постоянные, которые будут определены далее, кинетическая энергия молекулы, равная Плотность изображающих точек в зависимости от скорости показана на фиг. 3, е. Эта плотность максимальная около начала координат и постепенно убывает по мере удаления от него.

Фиг. 4. Зависимость плотности в пространстве скоростей от скорости для двух значений параметра распределения 0.

На фиг. 4 величина построена как функция скорости молекулы, т. е. как функция расстояния до начала координат в пространстве скоростей. Легко видеть, что для малых значений плотность убывает с ростом и быстрее, чем для больших значений ; мы покажем, что форма функции распределения полностью определяется величиной Поскольку распределение по скоростям изменяется при изменении средняя скорость молекул также должна зависеть от : если увеличивается, то число молекул с малыми скоростями уменьшается, а число молекул с большими скоростями увеличивается. Таким образом, средняя скорость молекул будет возрастать с увеличением Это показывает, что значение должно иметь некоторую связь с температурой газа; мы увидим, что величина пропорциональна абсолютной температуре газа.

б. Определение постоянной а.

Другая постоянная а в формуле (3.1) имеет вспомогательное значение: ее надо выбрать таким образом, чтобы общее число точек

в пространстве скоростей, которое дается интегралом от по всему пространству скоростей, было равно числу молекул в единице объема,

Отсюда

Интеграл (3.2) можно записать как произведение трех интегралов, каждый из которых равен (ср. § 3, г), откуда

Последняя формула выражает а через . Мы уже использовали это соотношение на фиг. 4: для Так как то число молекул с малыми скоростями уменьшается при увеличении 6.

в. Определение параметра ...

Чтобы найти связь между средним значением скорости и параметром разделим пространство скоростей на сферические слои радиусом V и толщиной как показано на фиг. 3, е. Все изображающие точки в слое относятся к молекулам с одним значением модуля скорости, векторы скоростей которых равномерно распределены по всем направлениям. Как видно из фиг. 3, в, при изменении число точек в таком слое сначала возрастает вместе с так как при увеличении объем слоя увеличивается, а при малых значениях плотность убывает медленно. Однако при больших значениях плотность убывает настолько быстро, что, несмотря на увеличение объема слоя, число точек в нем уменьшается. Итак, число молекул со скоростями в пределах которое мы будем обозначать сначала возрастает, затем проходит через

максимум и, наконец, стремится к нулю. Выражение для можно получить сразу, умножая объем толщиной на число точек в единице объема этого слоя, даваемое формулой (3.1).

Фиг. 5. Зависимость числа молекул в единице объема на единичный интервал скоростей от V для двух значений 6.

На фиг. 5 величина представлена как функциям для тех же двух значений 0, что и на фиг. 4. Видно, что кривая действительно имеет максимум, который смещается в сторону больших значений при увеличении 0. Выражение для имеет вид

Среднее значение находится суммированием значений по всем молекулам и делением результата на число молекул Это дает

Интеграл в последнем выражении равен (см. § 3, г). Подставляя значение а из (3.3), получаем

Согласно (2.8),

Из этих выкладок следует, что

Итак, мы показали, что параметр распределения, входящий в формулу Максвелла, пропорционален абсолютной температуре газа. Функции распределения (3.1) и (3.4) можно теперь записать в виде

и

Величину а в этих выражениях легко найти, подставляя формулу (3.3). Это дает

Значения , использованные для вычисления распределений молекул по скоростям, представленным на фиг. 4 и 5, соответствуют температурам