1-8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Уравнения Максвелла в векторной форме удобны тем, что они характеризуют общие свойства электромагнитных полей безотносительно к той или иной системе координат. При конкретных вычислениях полей всегда приходится прибегать к соответствующей системе координат.

Мы будем далее пользоваться системами координат, в которых три семейства координатных поверхностей ортогональны друг к другу.

Рис. 1-7. Криволинейные ортогональные координаты.

Рассмотрим элементарный параллелепипед, образованный координатными поверхностями (рис. 1-7). Пусть отрезок является диагональю этого параллелепипеда. Тогда его длина определится выражением [Л. 1 и 2]

где — метрические коэффициенты (коэффициенты Ляме), зависящие, вообще говоря, от координат Щ-Длины ребер параллелепипеда равны соответственно а его объем равен

Пусть является некоторой скалярной функцией, -некоторой векторной функцией, составляющие которой по трем координатам обозначим через

Из рис. 1-7 видно, что составляющая градиента скалярной функции по координате определяется формулой

или

Аналогично составляющие градиента функции по координатам имеют вид:

Вычислим теперь поток вектора А через поверхность рассматриваемого параллелепипеда в направлении внешней нормали. Поток через поверхность составляет величину а через поверхность — величину

Суммарный поток через отмеченные две поверхности, следовательно, определится выражением

Аналогично поток вектора А через остальные две пары поверхностей равен:

и

Суммарный поток через полную поверхность параллелепипеда оказывается равным

Но по теореме Гаусса — Остроградского

Следовательно, для дивергенции вектора А получается выражение

Определим теперь циркуляцию вектора А по контуру Заметим, что

Таким образом, циркуляция по контуру определяется выражением

Но согласно теореме Стокса

Следовательно, для составляющей ротора вектора А получится формула

Рассматривая циркуляцию вектора А по контурам аналогично изложенному выше, получим:

Для определения метрических коэффициентов необходимо знать функциональную связь прямоугольных координат с криволинейными, которую можно записать в виде:

Дифференцируя уравнения (1-82), найдем дифференциалы прямоугольных координат, которые являются линейными функциями дифференциалов криволинейных координат:

Сопоставив выражение для длины элементарного отрезка с выражением (1-78), получим:

Подставив теперь (1-83) в (1-84) и приравняв коэффициенты при одинаковых членах, получим формулу, которая позволяет подсчитать метрические коэффициенты:

где

Полезно найти связь между прямоугольными и криволинейными составляющими некоторого вектора

Обозначим через единичные координатные векторы в прямоугольной системе координат, а через единичные координатные векторы в ортогональной криволинейной системе координат. Тогда

Из (1-86) получается связь между прямоугольными и криволинейными составляющими вектора

В выражениях (1-87) скалярные произведения единичных векторов определяют направляющие косинусы. Для подсчета этих произведений может быть использована связь

между единичными координатными векторами в прямоугольной и криволинейной системах координат [Л. 3].

где

Применим полученные формулы к наиболее часто употребляемым системам координат: прямоугольной, цилиндрической и сферической.

а) Прямоугольные координаты Метрические коэффициенты равны единице. Формулы (1-79) принимают вид:

Далее согласно (1-80) получим:

и согласно (1-81) получим

Наконец оператор Лапласа, определяемый по формуле получится в виде:

б) Цилиндрические координаты Связь прямоугольных и цилиндрических координат определяется выражениями:

Согласно выражению (1-85) метрические коэффициенты равны:

Из формул (1-79) — (1-81) получаются выражения:

Оператор Лапласа принимает вид:

в) Сферические координаты Связь прямоугольных и сферических координат определяется выражениями:

Метрические коэффициенты равны:

Согласно формулам (1-79) — (1-81) имеем выражения:

Оператор Лапласа будет иметь вид:

Аналогичным путем общие формулы (1-79) — (1-88) могут быть применены и к другим системам координат. Мы здесь этих выражений приводить не будем.

Литература к гл. 1

(см. скан)