9-2. МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Основные уравнения геометрической оптики как предельный случай уравнений Максвелла при были записаны в § 1-7. Поясним здесь суть подхода, заложенного в основу геометрической оптики.

Исходным пунктом является предположение о распространении энергии внутри лучевых трубок. Направления лучей могут быть найдены с помощью принципа Ферма, выражаемого неравенством (1-75). Считается, что между разными лучевыми трубками никакого обмена энергией не происходит.

Если в однородном пространстве на какое-либо идеально проводящее тело падает электромагнитная волна, то согласно принципу Ферма лучи представляют собой прямые линии и отражаются от поверхности тела как от плоскости, касательной к поверхности в точке падения. При этом предполагается, что отражение соседних лучей происходит совершенно независимо. В действительности подобную независимость мы имеем лишь в случае падения плоской волны на бесконечную плоскость. Здесь «независимость» является следствием тождественности условий отражения всех лучей. При падении же на кривую поверхность отраженная волна даже в том случае, когда падающая волна является плоской, представляет собой расходящийся пучок лучей, причем расходимость меняется от луча к лучу. Величину этой расходимости можно определить из геометрических соображений. Очевидно, что расходимость зависит от кривизны отражающей поверхности и угла падения луча.

Как было установлено с помощью неравенств (1-77), условия применимости метода геометрической оптики требуют, чтобы кривизна тела и фронт падающей волны мало менялись на расстоянии, равном длине волны, т. е. чтобы рассматриваемый случай был близок к случаю падения плоской волны на бесконечную плоскость.

Другим существенным ограничением является неприменимость метода геометической оптики в зоне тени, где он дает

значения поля, равные нулю. На границе между освещенной областью и зоной тени поле получается разрывным. Отсюда становится ясным, что приближение геометрической оптики будет неверным уже и в так называемой зоне полутени — части пространства, лежащей вблизи границы свет — тень.

Рис. 9-1. Возбуждение цилиндра нитью магнитного тока.

Заметим далее, что если точка наблюдения лежит вблизи возбуждаемого тела, то при решении задач возбуждения методом геометрической оптики приходится ограничиваться лишь теми случаями, когда сторонние источники достаточно удалены от отражающей поверхности, т. е. по существу рассматривать дифракционные задачи. В противном случае фронт падающей волны будет сильно отличаться от плоского и оптическое приближение даст большую ошибку.

С помощью теоремы взаимности можно установить, что метод геометрической оптики применим также в случае расположения источника вблизи отражающей поверхности, если при этом точка наблюдения лежит достаточно далеко от нее.

Рассмотрим применение метода геометрической оптики к решению задачи о возбуждении круглого идеально проводящего цилиндра бесконечной нитью синфазного магнитного тока. Нить параллельна оси цилиндра (рис. 9-1).

Задав объемную плотность стороннего магнитного тока в виде

и подставив ее в выражения (2-64), убедимся, что магнитный векторный потенциал будет иметь единственную составляющую Взяв в качестве функции Грина ее двухмерное представление (2-146), запишем с помощью формул (1-29) напряженность падающего магнитного поля:

где расстояние между точкой истока и точкой наблюдения При использовании метода геометрической оптики это расстояние должно быть велико по сравнению с длиной волны, т. е. Тогда, используя асимптотическое представление для функций Ганкеля

запишем падающее поле в виде:

Геометрооптическое решение для отраженного поля можно получить как путем приближенного решения волнового уравнения, так и путем рассуждений. Будем искать это решение в виде:

где — падающее поле в точке отражения, определяемое из (9-3) при -длина луча от точки истока до точки отражения — длина луча от точки отражения до точки наблюдеши (см. рис. 9-2), а — множитель, учитывающий расходимость пучка лучей.

В соответствии с законами геометрической оптики падающее поле при т. е. на теневой части поверхности цилиндра.

Положение точки отражения согласно принципу Ферма находится из условия минимума суммы длин падающего и отраженного лучей:

Дифференцируя по и приравнивая производную нулю, перепишем условие минимума в виде:

Левая часть этого выражения равна синусу угла падения луча на отражающую поверхность, а правая — синусу угла отражения луча от этой поверхности. Таким образом, точка

отражения находится из условия равенства углов падения и отражения.

В общем случае получить из (9-5) простое выражение для определения угла не удается, но при

После того как найдено положение точки отражения, следует определить расходимость лучей, характеризуемую отношением

Рис. 9-2. К расчету поля в точке методом геометрической оптики.

Применив к нашему случаю закон сохранения энергии внутри лучевой трубки (1-71), получим:

где — расстояние от точки отражения до точки пересечения двух соседних отраженных лучей (рис. 9-2).

Для нахождения длины воспользуемся рядом геометрических соотношений. Обозначим через расстояние между двумя отраженными лучами по нормали и заметим, что угол а угол Тогда

и так как , то

Поскольку

При имеют место равенства

Таким образом, подставив (9-7) в (9-6), получим:

Когда и вместо (9-8) можно записать:

Тогда напряженность отраженного магнитного поля согласно (9-3), (9-4) и (9-9) будет определяться выражением

Результирующее поле при а будет равно сумме выражений (9-4) и (9-10). Легко убедиться, что на поверхности цилиндра полное поле будет удовлетворять граничному условию При этом следует иметь в виду, что дифференцировать в выражениях (9-3) и (9-4) надо только фазовые множители, ибо мы ищем приближенное решение при

Найдем пределы углов, в которых найденное решение дает приемлемые результаты. Для этого воспользуемся первым из неравенств (1-77), где под в данном случае следует понимать амплитуду отраженного поля, зависимость которой от координат при и определяется выражением (9-9). Следовательно, условие применимости метода геометрической оптики будет иметь вид:

или

Выполнение этого неравенства нарушается лишь при что означает необходимость достаточного удаления точки наблюдения от границы тени.