4-4. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИПОЛЕМ (задача Зоммерфельда)

В этом параграфе будет рассмотрена задача о нахождении поля, возбуждаемого электрическим диполем, расположенным на высоте над плоской границей раздела двух сред. Параметры среды выше границы раздела обозначим через параметры среды ниже границы раздела — через Эта задача впервые была поставлена и решена Зоммерфельдом [Л. 3] в связи с проблемой распространения радиоволн вблизи земной поверхности. Земля в большинстве случаев может рассматриваться как диэлектрик с потерями, магнитная проницаемость которого равна магнитной проницаемости вакуума Поэтому для ннжней среды мы положим , где — диэлектрическая проницаемость земли; проводимость земли; -Верхняя среда в задаче Зоммерфельда является вакуумом, однако мы для общности рассмотрения припишем ей некоторую проводимость которую в дальнейшем можно положить равной нулю. Таким образом: . Задачу будем решать в цилиндрической системе координат, в которой граница раздела двух сред совпадает с плоскостью а ось — с осью диполя (рис. 4-8).

Рис. 4-8. Система координат, применяемая в изложении.

При решении задачи мы воспользуемся тем обстоятельством, что нам известно поле, возбуждаемое заданным

распределением тока в однородном пространстве с параметрами которое мы назовем первичным полем.

Для диполя плотность тока имеет одну составляющую и записывается через дельта-функцию:

В выражении (4-39) мы записали плотность тока для диполя, расположенного на некотором расстоянии а от оси z. так как объемная дельта-функция выражается через координатные -функции с помощью величин, обратных коэффициентам Лямэ. В цилиндрической системе координат коэффициент Лямэ при координате равен и при расположении диполя на оси что лишает смысла формулу (4-39).

Для вычисления векторного потенциала тока (4-39) подставим выражение для в формулу (2-64) и возьмем интеграл по используя известные свойства -функции. Выбрав выражение для в виде (2-20) и учитывая, что функции Бесселя при стремлении а к нулю также стремятся к нулю для всех индексов, кроме нуля при получим выражение для векторного потенциала первичного поля, который мы обозначим через

где — волновое число среды 1 и знак нужно брать при а знак при [см. пояснение к формуле (2-20)]. Как уже отмечалось в § 2-2, выражение (4-40) представляет собой интеграл от спектра волн, расходящихся от источника по оси z.

Полное поле в среде 1 складывается из первичного поля и поля, отраженного от границы раздела. Векторный потенциал отраженного поля запишем в виде, аналогичном (4-40); тогда потенциал полного поля в среде 1 запишется в виде:

Функция пока не определена; мы найдем ее далее из граничных условий. Векторный потенциал в нижней

среде мы также будем искать в форме, аналогичной (4-40), но уже для среды с волновым числом

Неизвестную пока спектральную плотность также найдем из граничных условий. Знаки в показателях экспоненциальных функций формул (4-41) и (4-42) выбраны на основании того очевидного соображения, что интеграл в формуле (4-41) должен сходиться при положительных значениях z, а интеграл в (4-42) — при отрицательных значениях z.

При указанном выборе знаков предполагается, что действительная часть функций — положительна на пути интегрирования. Несколько ниже мы покажем, что это действительно так.

Для определения функций воспользуемся граничными условиями (1-136) и (1-146) и формулами (1-29), выражающими электрическое и магнитное поле через векторный потенциал. В нашем случае непрерывность тангенциальных составляющих электрического и магнитного поля приводит к граничному условию для векторного потенциала:

Подставляя (4-41) и (4-42) в (4-43), получим систему уравнений для определения

Покажем, что в системе уравнений (4-44) из равенства интегралов следует равенство подынтегральных выражений. Для этого умножим оба уравнения на проинтегрируем их по от до и рассмотрим интеграл:

Используя формулы (2-19) и (2-23), легко видеть, что

Таким образом, после умножения (4-44) на и интегрирования его по в указанных пределах получим под интегралом по у. дельта-функцию После взятия интеграла по к получим следующую систему уравнений:

Решив систему уравнений (4-46) и возвратившись к переменной к, получим выражения для

Подстановка полученных выражений для в формулы (4-41) и (4-42) формально решает задачу о нахождении поля электрического диполя, расположенного над плоской границей раздела двух сред. Так как в данной задаче анализ полученного решения представляет существенную трудность, то мы специально остановимся на этом вопросе. Для исследования полученного решения рассмотрим выражение для составляющей электрического поля,

возбуждаемого диполем, расположенным на границе раздела двух сред Легко видеть, что в области векторный потенциал полного поля равен:

Пользуясь формулой

и полагая получим:

В выражении (4-49) участвуют две неоднозначные функции: Для того чтобы выбрать необходимую однозначную ветвь исследуемых функций, необходимо провести надлежащую систему разрезов на плоскости комплексной переменной и. Пока что единственное требование, которое предъявляется к ветвям функций, сводится, как указывалось при выводе формул (4-40), (4-41) и (4-42), к положительности действительных частей на пути интегрирования, проходящем по действительной оси. Точками ветвления функций являются точки и любой разрез должен проходить через указанные точки.

Рис. 4-9. Плоскость комплексного переменного с разрезами.

Рассмотрим возможные способы проведения разреза на примере функции Если разрезами являются прямые, проведенные из точек параллельно мнимой оси (рис. 4-9), то действительная часть у, положительна на всем пути интегрирования. В самом деле, представим у, в виде:

и рассмотрим, как меняется аргумент на пути интегрирования. Запишем выражение для аргумента

и рассмотрим произвольную точку к на действительной оси. Тогда числа могут быть изображены на комплексной плоскости векторами (рис. 4-9), причем угол, который вектор образует с положительным направлением действительной оси, равен аргументу соответствующего комплексного числа. Такое представление весьма наглядно показывает, что при стремлении и к аргументы чисел приближаются к нулю. При движении точки у, в обратном направлении к вектор, изображающий вращается против часовой стрелки, а вектор — по часовой стрелке. Таким образом, при оказывается, что откуда следует, что действительная часть положительна на всем пути интегрирования (для нас важно, что действительная часть стремится к при больших х, обеспечивая сходимость интегралов в (4-40) и (4-41).

Рис. 4-10. Пример неудачного выбора разреза на плоскости комплексного переменного.

Другим разрезом, выделяющим однозначную ветвь функции может быть отрезок прямой, соединяющий точки . В случае комплексного значения такой разрез является неприемлемым, так как он пересекает путь интегрирования. Но в случае действительного значения разрез, изображенный на рис. 4-10, должен исследоваться в качестве возможного. При этом путь интегрирования по действительной оси можно рассматривать как предельное положение контура или (рис. 4-10). Легко видеть, что разрезы,

изображенные на рис. 4-10, выделяют однозначную ветвь функции не удовлетворяющую условию положительности реальной части на действительной оси. Рассмотрим, например, поведение на пути При стремлении у. к аргументы чисел стремятся к нулю, следовательно, при На другом конце контура (при

Рис. 4-11. Взаимное расположение полюса и системы прямых разрезов (к выводу формулы (4-64)].

Таким образом, действительная часть при выбранном разрезе становится отрицательной для больших отрицательных значений у. Аналогично можно показать, что на пути интегрирования меняется от до 0 и, следовательно, разрез, изображенный на рис. 4-10, является неприемлемым для пути интегрирования, проходящего по действительной оси. Все сказанное относительно разрезов функции полностью справедливо для функции Поэтому, чтобы обеспечить сходимость интеграла в формуле (4-42), нужно провести через точки ветвления разрезы, аналогичные разрезам, изображенным на рис. 4-9. Так как знаменатель подынтегрального выражения

содержит обе многозначные функции то для выделения однозначной ветви функции нужно провести, как

следует из всего сказанного, систему разрезов, изображенную на рис. 4-11 жирными линиями, состоящую из прямых, проходящих через точки ветвления функции

Из нашего рассмотрения легко видеть, что любая система разрезов, выделяющая однозначные ветви функций и и не пересекающая действительной оси плоскости к, обеспечивает положительность действительных частей функции на действительной оси и тем самым сходимость интегралов (4-40), (4-41) и (4-42).

Рис. 4-12. Взаимное расположение полюса и системы разрезов Зоммерфельда (к выводу формулы (4-59)].

В качестве разрезов могут быть взяты линии, на которых действительная часть функций

равна нулю. Такая система разрезов была предложена Зоммерфельдом и изображена на рис. 4-12 жирными линиями. Произвол в выборе системы разрезов значительно уменьшается, если, следуя решению Зоммерфельда, интеграл (4-49) свести к интегралам по разрезам. При любой системе разрезов переход от интеграла по действительной оси к интегралам по разрезам осуществляется следующим образом. Рассмотрим замкнутый контур состоящий из полуокружности большого радиуса контуров, охватывающих

разрезы и части действительной оси Г, ограниченной полуокружностью Такие замкнутые контуры изображены на рис. 4-11 и 4-12. Так как внутри замкнутого контура подынтегральная функция (4-49) однозначна, то по теореме Коши интеграл по замкнутому контуру равен сумме вычетов подынтегральной функции. Таким образом, обозначив подынтегральную функцию (4-49) через получим:

В формуле (4-50) интегрирование по контуру производится в отрицательном направлении, т. е. область, ограниченная контуром, находится справа при движении по контуру. В связи с этим появился знак минус перед суммой вычетов.

Рассмотрим интеграл по контуру Подынтегральная функция содержит функцию Ганкеля, которая при больших х имеет асимптотику:

Таким образом, в нижней полуплоскости комплексного переменного когда функция экспоненциально убывает (именно потому на рис. 4-11 и 4-12 путь интегрирования замыкается в нижней, а не верхней полуплоскости Кроме того, на участках контура близких к действительной оси, при больших очень малой оказывается функция Совместное действие указанных факторов приводит к тому, что при стремлении R к интеграл по убывает до нуля. Строгое доказательство этого факта составляет содержание леммы Жордана Кроме того, при интеграл по Г переходит в искомый интеграл по всей действительной оси. Если теперь интегралы по разрезам перенести в правую часть выражения (4-50), то получим:

где интегрирование по разрезам ведется в направлении, указанном на рис. 4-11 и 4-12. Для дальнейшего упрощения (4-52) важно установить взаимное положение точек Как указывалось выше, — волновое число свободного пространства с небольшими потерями; — волновое число среды с параметрами земли. Так как проводимость земли обычно велика, то комплексная проницаемость а вместе с ней и волновое число имеют большую отрицательную мнимую часть. Поэтому на контуре (см. рис. 4-11 и 4-12) переменная интегрирования у. также имеет большую отрицательную мнимую часть; отсюда, как следует из формулы (4-51), функция на контуре будет исчезающе малой и интегралом по контуру можно пренебречь.

Таким образом,

где

Покажем, что разрез, выходящий из точки должен удовлетворять при произвольных значениях определенным условиям, чтобы выражение (4-53) имело смысл. Для этого рассмотрим произвольный разрез, образующий при больших значениях к угол с осью мнимых значений у. (рис. 4-13) и найдем изменение аргумента функции на контуре При больших у. на правом берегу разреза — на левом берегу разреза Таким образом, на левом берегу разреза

действительная часть пропорциональная отрицательна и растет с ростом х, и поэтому на левом берегу разреза интеграл (4-53) разойдется. Аналогичная ситуация возникнет на правом берегу, если и только при когда контур параллелен мнимой оси при больших х, действительная часть у на обоих берегах разреза равна нулю и интеграл (4-53) сходится. Таким образом, разрез при больших значениях х должен быть параллельным мнимой оси, чтобы от интеграла (4-49) можно было перейти к (4-53). Последнему условию удовлетворяют обе системы разрезов, изображенные на рис. 4-11 и 4-12, однако между этими системами есть существенная разница, которая сказывается при вычислении суммы вычетов. Легко видеть, что полюсами подынтегральной функции в формуле (4-49) являются нули функции

которые определяются из уравнения

откуда полюс определяется формулой

Рис. 4-13. К выбору направления разреза при больших значениях х.

Так как то последнее выражение может быть приведено к виду:

Мы уже отмечали, что мнимая часть существенно больше, чем мнимая часть вследствие большой проводимости

земли. Так как и диэлектрическая проницаемость земли также больше диэлектрической проницаемости вакуума то Поэтому, если разложить по степеням и ограничиться первым членом разложения, то вместо (4-55) получим:

В формуле (4-56) появились два знака, так как корень (4-55) имеет два значения. Легко видеть, что только одно значение которому соответствует знак плюс, лежит внутри контура и дает вклад в сумму вычетов. Это значение изображается на плоскости к точкой, лежащей левее и ниже точки (см. рис. 4-11 и 4-12).

Необходимо отметить, что решение уравнения (4-54) найдено с помощью возведения в квадрат обеих частей этого уравнения. При этом могли появиться лишние корни, поэтому необходимо проверить, что решение (4-56) удовлетворяет уравнению (4-54). Видно, что при разрезах (рис. 4-12) имеют место неравенства:

которые проще всего установить с помощью рис. 4-12. Далее, число лежит в третьем квадранте, так как близок к и число также лежит в третьем квадранте, так как близок к . Таким образом, фазы левой и правой частей уравнения (4-54) равны при системе разрезов приведенных на рис. 4-12 и, следовательно, является решением (4-54) и полюсом подынтегральной функции (4-49). Совсем другая ситуация складывается при системе разрезов по рис. 4-11, так как в этом случае [см. выражение (4-56)] уже не является нулем . В самом деле, как видно из рис. 4-11, вместо (4-57) имеем при прямых разрезах:

Из (4-58) следует, что число лежит во втором или первом квадранте, а число третьем

квадранте и, следовательно, равенство (4-54) не выполняется при разрезах по рис. 4-11. Для понимания полученных результатов необходимо помнить, что с помощью системы разрезов мы из многолистной рпмановой поверхности функции выделяем тот лист, на котором обладает нужными свойствами (в частности, на котором функции положительны на действительной оси Для системы разрезов по рис. 4-11 оказывается, что регулярно на верхнем листе римановой поверхности, который мы используем в нашем рассмотрении, и имеет полюс на одном из нижних листов. Напротив, при разрезах по рис. 4-12 верхний лист включает область, где обращается в нуль, и теперь на верхнем листе функция имеет полюс, но зато его нет на нижних листах.

Вернувшись к рассмотрению формулы (4-53) и вычислив по известным правилам вычет в точке получим для разрезов по рис. 4-12:

где — разрез по рис. 4-12.

Часть поля, определяемая полюсом, для случая, когда верхняя среда не имеет потерь имеет вид:

где С — постоянная;

Для оценки величин и положим приближенно так как мнимая часть много больше действительной части тогда для получим:

Подставив (4-62) в (4-60) и пользуясь формулой (4-51), получим, что при больших

Таким образом, при больших представляет собой волну, которая распространяется в основном в направлении и амплитуда которой экспоненциально убывает как в направлении оси так и в направлении оси z. Волны, амплитуда которых экспоненциально затухает в направлении, перпендикулярном распространению, называются поверхностными. Надо сказать, что у поверхностной волны (4-63), которая в литературе известна под названием волны Ценнека, свойства поверхностной волны выражены очень слабо, так как коэффициент затухания оси очень мал из-за больших значений проводимости Решение задачи в форме (4-59) было впервые получено Зоммерфельдом, который, стремясь получить простое выражение для интеграла по разрезу предположил, что функция достаточно медленно меняется на пути интегрирования, и вынес ее из-под интеграла. Это предположение привело Зоммерфельда к выводу, что главный вклад в значение поля дает волна Ценнека. Ошибка Зоммерфельда. была впоследствие исправлена В. А. Фоком и в исправленном решении вклад в поле от полюса и интеграла по разрезу оказался одного порядка. Чтобы полнее понять значение волны Ценнека для решения задачи, найдем поле по (4-53) с помощью системы разрезов (см. рис. 4-11). При этих разрезах, как показывалось выше, подынтегральная функция не имеет полюса в точке и поэтому сумма вычетов равна нулю; отсюда

— разрез по рис. 4-11.

Ясно, что интеграл в (4-59) не равен интегралу в (4-64). С другой стороны, сравнение этих формул показывает, что существование волны Ценнека зависит от того, в каком виде мы ищем решение, т. е. при представлении решения в виде интеграла по разрезам на рис. 4-12 она есть, а при решении в виде того же интеграла, но по разрезам на рис. 4-11 ее нет.

Из нашего расмотрения был исключен случай, когда разрез проходит через точку — полюс подынтегральной

функции. При этом точка оказывается вне контура и сумма вычетов (4-53) равна нулю. Однако при вычислении интеграла по контуру, охватывающему разрез нужно окружить точку полуокружностями небольшого радиуса а и найти предел интеграла по этим полуокружностям при стремлении а к нулю. Все выкладки, связанные с этой операцией, громоздки, но при желании могут быть проделаны читателем самостоятельно.

Надо сказать, что разрез по рис. 4-12 и решение (4-59) имеют определенное преимущество перед разрезами по рис. 4-11 и решением (4-64), так как с помощью первых при значениях больших и большой проводимости земли получены сравнительно простые формулы для вывода которых мы приводить не будем, отослав читателей к оригинальным работам [Л. 3 и 4].

Литература к гл. 4

(см. скан)