2-6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Электромагнитное поле заданных электрических и магнитных токов в неограниченном однородном пространстве может быть вычислено в координатах кругового цилиндра Для этой цели можно воспользоваться выражением (2-7) для любой из прямоугольных составляющих

где функцию Грина можно представить в виде разложения (2-20) или (2-22). Для перехода в (2-7) к криволинейным составляющим векторного потенциала и тока нужно воспользоваться согласно (1-87) соотношениями:

и соответствующими соотношениями для Тогда получатся выражения:

где поле определяется в точке наблюдения а интеграл берется по точкам источников

Выражения (2-64) совместно с выражениями (2-20) или (2-22) при подстановке их в формулы (1-29) определяют электромагнитное поле в любой точке пространства. Однако, помимо этого способа, электромагнитное поле в свободном пространстве может быть представлено в виде наложения электрических и магнитных волн, подобно тому как это сделано в декартовой системе координат.

Согласно формулам (1-29) и (1-91) в координатах кругового цилиндра продольные (совпадающие с осью составляющие напряженностей электрического и магнитного поля выражаются:

Подставив сюда выражения (2-64) и (2-20), используя рекуррентные формулы для функций Бесселя и их производных:

где означает или и затем изменив порядок суммирования по получим:

где

В последних двух выражениях при

В формулах (2-66) - (2-69), а также в последующих выражениях перед радикалом нужно брать нижние знаки при и верхние знаки при

Представим теперь подобно (2-65) поперечные составляющие поля в виде разложения:

Тогда, учитывая, что зависимость всех составляющих поля от координаты z определяется выражением мы из уравнений Максвелла для тех точек пространства, в которых отсутствуют источники, получим при выражения:

и при выражения:

Полное электромагнитное поле определяется суммой выражений (2-71) и (2-72).

Электромагнитные волны, определяемые выражениями (2-65), (2-66), (2-68) и (2-71) при называются поперечными магнитными (ТМ) или электрическими (Е) волнами, а электромагнитные волны, определяемые выражениями (2-65), (2-67), (2-69) и (2-72) при поперечными электрическими (ТЕ) или магнитными (Н) волнами. Заметим, что продольные составляющие стороннего электрического

тока возбуждают только электрические волны, а продольные составляющие стороннего магнитного тока — только магнитные волны. Поперечные составляющие сторонних электрического и магнитного токов в общем случае возбуждают как электрические, так и магнитные волны.

Приведенные выше выражения показывают, что свободное пространство можно рассматривать как цилиндрический волновод, возбуждаемый заданным распределением сторонних электрического и магнитного токов. Собственные волны иди пространственные гармоники этого волновода имеют непрерывный спектр собственных значений. Причем все волны, для которых (если являются затухающими и все волны, для которых являются распространяющимися в направлении оси

Ввиду того что функция Грина имеет еще и другой вид, а именно представленный формулой (2-22), наложение электрических и магнитных волн может быть представлено также в другом виде.

Действительно, подставив в формулы (2-64) выражение функции Грина (2-22) для продольных составляющих напряженности электрического и магнитного поля, получим:

где

Здесь при и при Представим теперь поперечные составляющие поля в виде:

Тогда получим для электрических волн

и для магнитных волн

В последующих главах книги будут использованы как выражения (2-65) — (2-72), так и выражения (2-73) - (2-80). В одних случаях удобно применять одни представления, а в других случаях — другие.