3-1. УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Рассмотренные в гл. 2 решения неоднородных уравнений Максвелла для неограниченного пространства представляют на больших расстояниях от возбуждающих источников бегущие волны, удаляющиеся на бесконечность.

Решения в таком виде были получены в результате разложения искомой функции в интеграл Фурье и выбора на плоскости комплексного переменного такого пути интегрирования, который приводит к сходящимся интегралам.

Так была получена функция Грина неограниченного пространства, которая в свернутом виде имеет выражение:

и для всех точек пространства, кроме точки удовлетворяет уравнению

Действительно, записав это уравнение в сферической системе координат:

и подставив в него выражение (3-1) увидим, что (3-2) тождественно удовлетворяется.

Вместе с тем простой подстановкой можно показать, что второе решение уравнения (3-2) представляется в виде:

Однако второе решение волнового уравнения описывает волну, бегущую из бесконечности к началу координат, и, поскольку на бесконечности источников электромагнитного поля нет, не удовлетворяет физической постановке задачи и должно быть отброшено.

Принято говорить, что удаляющиеся от источников на бесконечность волны удовлетворяют условию излучения на бесконечности. Это условие для любой функции удовлетворяющей волновому уравнению, записывается в виде:

Как видно, этому условию удовлетворяет решение (3-1) и не удовлетворяет решение (3-3).

Таким образом, при решении граничных задач электродинамики для безграничных областей необходимо всегда заботиться о том, чтобы получаемое решение удовлетворяло условию излучения (3-4). Это условие впервые было сформулировано Зоммерфельдом.