10-3. ВОЗБУЖДЕНИЕ КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА

Теперь перейдем к решению задачи о возбуждении круглого идеально проводящего волновода бесконечной длины. Совместим ось трубы радиуса а с осью цилиндрической системы координат (рис. 10-4).

Для решения поставленной задачи можно было бы представить поле в виде наложения первичного и вторичного поля. В качестве первичного поля можно при этом взять поле электрических и магнитных волн в неограниченном пространстве, а в качестве вторичного поля — поле электрических и магнитных волн, отраженное от стенок волновода. Этот путь был использован в работе при рассмотрении произвольного возбуждения круглого волновода. Мы здесь для единообразия изберем путь, который был использован в § 10-1 и 10-2.

Рис. 10-4. Круглый волновод.

Обращаясь к волновым уравнениям (10-1), представим продольные составляющие напряженности электрического и магнитного поля в виде разложения по собственным волнам поперечного сечения круглого волновода:

Поскольку стенки волновода являются идеально проводящими, на решение (10-40) нужно наложить граничное условие

а на решение (10-41) — условие

Величины являются корнями уравнений (10-42) и (10-43), а индексы — номерами корней

этих уравнений. Следовательно, значения определяются из выражений:

Корни для некоторых значений равны:

Корни для некоторых значений равны:

Коэффициенты разложения в (10-40) и в (10-41) определяются из подстановки этих разложений в уравнения (10-11). Подставив (10-40) в первое уравнение (10-1) и имея в виду, что

получим:

где Применив к разложению (10-44) обратное преобразование по координатам и имея в виду, что

найдем:

Решив уравнения (10-45) методом вариации произвольных постоянных, получим выражение удовлетворяющее принципу излучения на бесконечности в направлении оси

Для определения подставим выражение (10-41) во второе уравнение (10-1). При этом получим аналогично (10-44) уравнение

где

Применив к разложению (10-47) обратное преобразовав ние по координатам и имея в виду, что в данном случае

найдем:

Решение (10-48) для волновода бесконечной длины имеет вид:

Выражения (10-40) и (10-41) совместно с (10-46) и (10-49) определяют продольные составляющие напряженности электрического и магнитного поля в любой точке волновода. Подставив (10-46) в (10-40), окончательно запишем:

Подобным же образом после подстановки (10-49) в (10-41) будем иметь:

В выражениях (10-51), (10-52), (10-54) и (10-55) верхние знаки перед берутся для а нижние — для Наконец, для поперечных составляющих электрического и магнитного поля получатся двойные ряды:

в которых и по аналогии с (2-71) и (2-72) определяются формулами:

для электрических волн

для магнитных волн

Критические длины волн определяются из приравнивания нулю постоянной распространения Для электрических типов колебаний критические длины волн определяются выражениями вида:

для волны типа , а для следующего типа волны .

Для магнитных типов колебаний критические длины волн определяются выражениями вида:

для волны типа , а для следующего типа волны . Таким образом, наинизшим типом волны в круглом волноводе является осенесимметричная волна типа , а из осесимметричных - волна типа Структура полей этих типов волн показана на рис. 10-5 и 10-6.

Рис. 10-5. Структура поля волны Силовые линии: — электрические; магнитные.

Рис. 10-6. Структура поля волны Силовые линии: - электрические; - магнитные.

Для иллюстрации полученных решений найдем поле в волноводе, возбуждаемое продольным электрическим диполем с моментом тока Свяжем объемную плотность тока диполя с его моментом через дельта-функцию:

Подставив (10-59) в (10-10) и (10-14), найдем:

Следовательно, магнитные волны не возбуждаются, а для электрических волн из (10-52) получим:

и согласно (10-51) для продольной составляющей напряженности электрического поля найдем:

Поперечные составляющие поля при этом определяются путем подстановки (10-61) в (10-57). Для наинизшего типа волны получим:

Остальные составляющие поля этой волны равны нулю.