1-4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ТЕОРЕМА УМОВА—ПОЙНТИНГА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД ПОЛЯ

Будем в дальнейшем рассматривать гармонические во времени колебания, имея в виду, что негармонические колебания могут быть изучены путем разложения в ряд или интеграл Фурье по гармоническим составляющим.

Далее, будем записывать гармоническое колебание условно в виде комплексного числа где А — комплексная амплитуда. В окончательных результатах будем использовать только мнимую часть этого выражения.

Уравнения Максвелла (1-5) и (1-6) запишутся теперь для комплексных амплитуд в виде:

В дальнейшем точку над буквами для упрощения записи будем опускать.

Перейдем теперь к определению теоремы Умова—Пойнтинга в комплексной форме. Для этой дели составим уравнение, комплексно сопряженное с первым уравнением (1-19):

Умножим это уравнение на Е, а второе уравнение (1-19) на Н и вычтем из второго уравнения первое. Тогда получим:

Интегрируя это выражение по произвольному объему и принимая во внимание теорему Гаусса—Остроградского, приходим к соотношению

где

Уравнение (1-22) представляет собой теорему Умова—Пойнтинга в комплексной форме. Действительная часть выражения (1-23) определяет среднее за период значение вектора Пойнтинга.

В левой части уравнения (1-22) стоит член, который определяет мощность, отдаваемую источниками электромагнитного поля. Первый член правой части уравнения определяет реактивную мощность, которая накапливается в объеме V, второй член — мощность, теряемую на нагревание среды в объеме V, а третий член — мощность, излучаемую через поверхность ограничивающую объем V. Этот третий член в общем случае является комплексным. Комплексной является также и левая часть уравнения.

Теорема Умова—Пойнтинга является основой широко применяемых в теории антенн методов вычисления излучаемой мощности. Первый метод — метод вектора Пойнтинга — сводится к вычислению последнего интеграла в формуле (1-22) при интегрировании по сферической поверхности бесконечно большого радиуса, охватывающей антенну. Второй метод — так называемый метод наводимых электродвижущих и магнитодвижущих сил — сводится к вычислению интеграла в левой части формулы (1-22) при интегрировании по объему распределения сторонних (возбуждающих) электрических и магнитных токов. Причем во втором методе, помимо излучаемой мощности, вычисляется также реактивная мощность, накапливающаяся вокруг антенны.