9-4. МЕТОД ДИФРАКЦИОННЫХ ЛУЧЕЙ

Рассмотренные выше методы не позволяют получить удовлетворительного результата для зон тени и полутени. Чтобы преодолеть эту трудность, можно избрать два пути. Первый путь — уточнение и дополнение двух предыдущих методов — был применен Келлером к методу геометрической оптики и Уфимцевым к методу физической оптики Второй путь — приближенное решение волнового уравнения для зон тени и полутени — был выбран Фоком и Леонтовичем и 6]. В освещенной зоне все эти методы дают результаты, совпадающие с результатами геометрической оптики.

Остановимся сначала на существе метода Келлера. Он базируется на обобщенном принципе Ферма о возможности распространения электромагнитной энергии не только вдоль обычных лучей, но и вдоль так называемых дифракционных лучей. Под дифракционными лучами понимаются лучи, проведенные по кратчайшему пути от источника в точку наблюдения и имеющие при этом общий кусок гладкой кривой с отражающей поверхностью или общую точку с отражающим ребром. Можно показать, что при дифракции на крае экрана дифракционные лучи образуют конус, осью которого является касательная к ребру, а угол при вершине равен удвоенному углу между падающим лучом и касательной к ребру. В случае отражения от кривой поверхности дифракционный луч состоит из трех частей: двух отрезков

касательных к поверхности, проведенных из точек истока и наблюдения, и куска геодезической кривой на поверхности тела (рис. 9-3). Таким образом, дифракционные лучи проникают в область геометрической тени и образуют там некоторое поле, чего нельзя было получить в рамках обычного метода геометрической оптики.

Рис. 9-3. Дифракционные лучи, приходящие в точку

Заметим, что дифракционные лучи соответствуют рассмотренным в § 5-4 азимутальным («ползущим») волнам, обегающим вокруг поверхности цилиндра.

Метод Келлера можно применить к задаче о возбуждении удаленным источником цилиндра с произвольным поперечным сечением (рис. 9-4). Если через обозначить длину дифракционного луча, считая от точки касания 7 до точки наблюдения а через длину дуги, проходимой лучом, то решение для области тени можно записать в виде:

где — величина, пропорциональная напряженности поля, дифракционный коэффициент, определяемый из сравнения решения (9-17) с асимптотикой точного решения для круглого цилиндра; при этом радус круглого цилиндра принимается равным радиусу кривизны произвольного цилиндра в точке «отрыва» луча Если рассматривается дифракция лучей на крае экрана произвольной формы, то в качестве эталонного берется строгое решение задачи о дифракции на крае полуплоскости, касательной к экрану, и считается, что токи вблизи точки касания этих двух экранов примерно одинаковы.

Рис. 9-4. К расчету поля в точке методом параболического уравнения.

Из выражения (9-17) можно видеть, что келлеровское решение становится несправедливым вблизи поверхности тела Около границы тени трудно провести сравнение с эталонным решением. Наконец, метод Келлера имеет лишь качественное обоснование и иногда приводит к существенным ошибкам.

От всех этих недостатков свободен развитый В. А. Фоком и М. А. Леонтовичем метод параболического уравнения. Параболическое уравнение является упрощенным волновым уравнением, позволяющим найти главный, т. е. значительно превосходящий по величине остальные, член решения. Метод параболического уравнения является обобщением метода геометрической оптики, снимающим ограничение на применимость только в освещенной области.

Если согласно обобщенному принципу Ферма в пространстве определено поле направлений лучей как обычных, так и дифракционных, то следующим шагом будет предположение о характере энергетического обмена между лучевыми трубками. Гипотеза о независимости распространения энергии внутри лучевых трубок теперь окажется неприемлемой. Вместо нее сделаем два следующих предположения, связанных теснее, чем может показаться на первый взгляд: 1) сохраняется само понятие луча, энергия не накапливается в какой-либо точке лучевой трубки и не колеблется внутри нее; 2) обмен энергией между разными лучевыми трубками — так называемая поперечная диффузия амплитуды — происходит в соответствии с принципом локальности, т. е. только между соседними лучевыми трубками.

Для всего сказанного нам необходимо сохранить требование о медленности изменения амплитуды вдоль луча, так как с помощью наших предположений мы попытаемся сгладить поперечные градиенты поля. Эти градиенты в приближении геометрической оптики оказываются большими вблизи границы освещенной и теневой зон. Чтобы обеспечить отсутствие продольной диффузии, придется потребовать удаленности точки наблюдения от сосредоточенных источников, заострений и поверхностей с большой кривизной, где имеются сильные реактивные поля. При наличии реактивных полей происходит колебание энергии и говорить о лучах бессмысленно. Вместе с тем поле излучения формируется не локально, не вблизи какого-то участка поверхности тела, а во всей области, примыкающей к телу, и чтобы иметь дело с энергией, уходящей от тела, следует отойти на большое расстояние.

Рассмотрим скалярное волновое уравнение для функции, описывающей с точностью до постоянного множителя продольную составляющую поля:

Пусть будет задана некоторая идеально проводящая отражающая поверхность (поле на ней должно удовлетворять однородным граничным условиям). Построим во всем

внешнем пространстве траектории лучей и ортогональные к ним поверхности волновых фронтов и будем искать решение в виде где — длина вдоль луча. Таким образом, мы представили решение в виде произведения двух сомножителей: медленно меняющейся амплитуды и быстро меняющегося фазового множителя.

Составим уравнение для амплитуды А:

В соответствии с уравнением эйконала (1-66) для свободного пространства имеем Тогда уравнение (9-19) можно записать в виде:

Если за счет медленности изменения амплитуды пренебречь последним членом, то получим уравнение

выражающее закон сохранения энергии внутри лучевой трубки, т. е. вернемся к обычному методу геометрической оптики.

Чтобы получить более точное решение, сохраним в слагаемом часть производных, а именно те, которые описывают поперечную диффузию в направлении, перпендикулярном границе света и тени.

Запишем уравнение (9-20) в лучевых координатах где — длина вдоль луча, а — расстояние вдоль волнового фронта. Поскольку метрический коэффициент и уравнение (9-20) с помощью формул (1-79) и (1-80) можно представить в виде:

Условием применения квазиоптики является и поэтому четвертое слагаемое в (9-20а) должно быть мало по сравнению с первым и вторым. Это соответствует утверждению о малости продольной диффузии. В то же время третье слагаемое может быть соизмеримо с первыми двумя за счет большой величины или малой величины Первый случай имеет место вблизи границы света и тени, а второй — вблизи каустических поверхностей, т. е. поверхностей, где

сходятся близкие лучи и где велика кривизна волнового фронта. Подобные области называются зонами эффективной диффузии.

Соотношение

позволяет оценить ширину зоны эффективной диффузии (знак означает равенство по порядку величин).

Более просто ширину зоны вблизи границы света и тени можно оценить с помощью соотношения

Рассмотрим применение метода параболического уравнения к задаче о возбуждении круглого цилиндра радиусом а (можно получить решение и для выпуклого цилиндра с произвольным поперечным сечением). В изложении мы в основном будем следовать работе [Л. 1].

Если цилиндр возбуждается синфазной нитью магнитного тока, то функция пропорциональная продольной составляющей напряженности магнитного поля, должна удовлетворять волновому уравнению

условиям излучения на бесконечности, граничному условию на поверхности цилиндра

и условию периодичности

Распространим область изменения переменной на все возможные значения от до и тем самым зададим многолистную риманову поверхность для функции которую свяжем с некоторой функцией Г, удовлетворяющей условию при

Заметим, что представление решения в форме (9-21) соответствует полученным ранее строгим путем решениям (5-476) и (5-47в).

Решение для функции Г удобно строить в лучевых координатах, так как на многолистной поверхности в каждую точку приходит только один луч (лучи, огибающие цилиндр с разных сторон и разное число раз, приходят в точки, лежащие на разных листах плоскости). Для введения лучевых координат вернемся к рис. 9-4. Пусть координата описывает изменение расстояния вдоль луча, а координата — вдоль волнового фронта. Очевидно, что линии являются касательными к окружности цилиндра, а линии — кривыми, отсекающими на лучах отрезки одинаковой длины, т. е. эвольвентами окружности. Эти лучевые координаты, строго говоря, применимы лишь в области тени, но можно предположить, что и в части освещенной области, близкой к границе тени, мы с их помощью получим верный результат, что необходимо для смыкания нашего решения с решением по методу геометрической оптики.

Так как точка касания луча, идущего от источника, с поверхностью цилиндра фиксирована, мы будем вести отсчет длины луча и длины дуги пройденной лучом от этой точки. Переход от лучевых координат к обычным прямоугольным или цилиндрическим может быть сделан по формулам:

Имея в виду, что координаты ортогональны и их метрические коэффициенты равны запишем однородное волновое уравнение для функции Г в лучевых координатах:

Для получения параболического уравнения сделаем замену после чего уравнение (9-22) примет вид:

В этом уравнении в неявном виде присутствует малый параметр который дает нам возможность искать решение в виде ряда по степеням этого параметра. Однако сначала нам необходимо ввести безразмерные координаты и выделить малый параметр в явном виде. При введении безразмерных координат будем использовать принятые ранее физические предположения.

Прежде всего будем считать функцию (амплитуда поля) медленно меняющейся по сравнению с фазовым множителем Потребуем также, чтобы производные от функции по безразмерным переменным имели тот же порядок, что и сама функция. Итак, введем переменные

Тогда согласно сформулированному выше требованию

Коэффициенты выбираются из соображений получения разумной структуры уравнения (9-22). Поскольку формирование поля происходит вблизи поверхности цилиндра (в зоне эффективной диффузии), где следует положить Величина должна быть выбрана в соответствии с нашим предположением о сравнимости членов, описывающих поперечную диффузию с членами, дающими приближение геометрической оптики.

Запишем уравнение (9-23) в координатах X и

Слагаемое в фигурных скобках дает приближение геометрической оптики, второе слагаемое описывает поперечную диффузию амплитуды, а третье слагаемое — продольную диффузию. Считая, что второе слагаемое имеет тот же порядок, что и первое, положим:

Легко видеть, что это не противоречит условию если

Третье слагаемое в (9-24) будет мало по сравнению с двумя первыми, если что опять-таки выполняется при

С учетом (9-25) уравнение (9-24) можно переписать в следующей форме:

Решение уравнения (9-26) можно искать в виде разложения по степеням малого параметра

Если то можно ограничиться нахождением члена для которого уравнение (9-26) примет вид:

Уравнение (9-27) хорошо описывает процессы в зоне эффективной диффузии. За пределами этой зоны третье слагаемое в этом уравнении становится малым [соизмеримым с четвертым слагаемым в (9-26), описывающим продольную диффузию], но в силу своей малости не портит решения. В силу этого решение уравнения (9-27) должно быть верным для всей зоны тени и полутени при единственном условии

Уравнение (9-27) представляет собой уравнение параболического типа (отчего получил название и весь метод), ибо содержит старшую производную только по одной координате. Параболическое уравнение проще и удобнее для расчетов, чем эллиптическое уравнение, каким является полное волновое уравнение.

Непосредственного разделения переменных в уравнении (9-27) провести не удается, поэтому придется сделать ряд подстановок для его упрощения. Прежде всего введем переменную и исключим в (9-27) переменную оставив в качестве второй переменной X, чтобы не возникло дополнительных вторых производных:

Для устранения первой производной по заменим неизвестную функцию следующим образом:

Тогда для функции V из (9-28) получим уравнение Леонтовича — Фока:

Запишем последовательно граничные условия на поверхности цилиндра для вводившихся нами функций и V:

При построении решения уравнения (9-29) возникает дополнительная трудность, связанная с тем, что мы не можем наложить условия на функцию V в точке расположения источника, так как вблизи источника уравнение (9-29), вообще говоря, неверно. Вместо этого можно потребовать, чтобы искомое решение переходило в решение, найденное методом геометрической оптики, при переходе в освещенную зону (при больших отрицательных значениях X).

Путь отыскания решения оказывается эвристическим, и строго обосновать каждый шаг трудно. Тем не менее мы постараемся пояснить смысл проводимых выкладок.

Заметим прежде всего, что функция Г связана с функцией соотношением . Будем искать решение для функции Г в виде, симметричном по отношению к координатам точки истока и точки наблюдения:

где — расстояние от источника до точки касания тенеобразующего луча с цилиндром, т. е. величина постоянная;

Функцию V, являющуюся решением нашей граничной задачи, ищем в виде:

Контур С должен быть проведен так, чтобы он охватывал все особенности подынтегральной функции.

Функция очевидно, удовлетворяет уравнению

Для того чтобы найти решения уравнения (9-32), необходимо знать его собственные функции где Эти функции известны и называются функциями Эйри. Они связаны с цилиндрическими функциями соотношением

Вронскиан функций и имеет вид:

Функции Эйри могут быть представлены также интегралом

где контуры показаны на рис. 9-5.

Из интегрального представления можно получить асимптотические выражения для функций Эйри при . Они имеют вид:

при

Рис. 9-5. Контуры интегрирования. К определению функций Эйри.

Нам нужно найти такую линейную комбинацию функций которая удовлетворяла бы всем поставленным выше условиям для функции (т. е. для функции V). Естественно предположить, что функция может быть представлена в виде где — функция Грина уравнения (9-32), постоянное число. Особенность функции имеет место при Граничные условия имеют вид:

При функция должна иметь фазовый множитель вида для того, чтобы компенсировать множитель в формуле (9-31).

Исходя из всего сказанного выше, строим функцию для согласно обычной процедуре в виде:

— два линейно независимых решения уравнения (9-32), удовлетворяющих граничным условиям в разных концах рассматриваемого интервала:

Подставив (9-35) и (9-34) в (9-31а), получим:

Контур С охватывает нули функции лежащие в четвертом квадранте на луче

Для определения константы D нужно вычислить интеграл в выражении (9-36) методом перевала (см. § 4-2) для случая расположения точки наблюдения в освещенной зоне и сравнить полученный результат с геометрооптическим решением. Таким путем можно убедиться, что здесь

В теневой зоне интеграл в (9-36) удобно вычислять как ряд по вычетам подынтегральной функции. Как уже говорилось, эти вычеты лежат на луче первый корень функции равен Тогда решение (9-36) примет вид:

где через обозначены корни функции а через

суммирование по системе этих корней. При (9-37) можно записать так:

где

Так как все корни имеют отрицательную мнимую часть, то функция V убывает при движении в область тени (при увеличении . В области полутени ряд (9-38) сходится плохо и сумму его приходится вычислять другими методами.

Литература к гл. 9

(см. скан)