2-2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА

Функция Грина имеет весьма важное значение при решении задач электродинамики. Поэтому остановимся более подробно на рассмотрении этой функции.

Прежде всего получим волновое уравнение для функции Грина. Подставив выражение (2-9) в уравнение (1-30), будем иметь:

Но подынтегральное выражение содержит, очевидно, трехмерную -функцию Дирака, так как интеграл переводит функцию стороннего тока из точки в точку без изменения. Следовательно,

где — трехмерная дельта-функция, которая в криволинейной ортогональной системе координат записывается в виде:

Нетрудно показать простой подстановкой, что найденное нами интегральное представление функции Грина (2-8) удовлетворяет волновому уравнению

На свойствах функции Грина, вытекающих из решения уравнения (2-12) для ограниченных областей, остановимся в последующих главах. Здесь же рассмотрим некоторые представления функции Грина для неограниченного пространства.

Рассмотрим в выражении (2-8) внутренний интеграл

где

Переходя на плоскость комплексного переменного и полагая на время что не ограничивает общности получаемых результатов, заметим, что в подынтегральном выражении (2-13) имеются две особые точки (полюсы): одна в верхней полуплоскости и другая — в нижней. Для можно (2-13) дополнить исчезающим интегралом по кругу бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости, где при подынтегральное выражение стремится к нулю. Тогда

Этот интеграл равен произведению на вычет в верхней полуплоскости в точке

Для дополним (2-13) исчезающим интегралом по кругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости и запишем:

Этот интеграл равен произведению со знаком минус на вычет в нижней полуплоскости в точке

Следовательно, выражение для функции Грина (2-8) запишется так:

где двойной знак в показателе экспоненты учитывает различие представлении функции Грина для областей пространства (верхний знак) и (нижний знак).

Анализируя выражение (2-14), заметим, что для среды без потерь и случая, когда и у является мнимой величиной, получается спектр бегущих волн, удаляющихся от плоскости в направлении оси z в обе стороны.

Скорость распространения этих волн, определяемая оказывается больше скорости света в данной среде. Амплитуды волн обратно пропорциональны у. Фазовые фронты являются плоскими, но не совпадают с плоскостями наклон фазовых фронтов относительно плоскости меняется в зависимости от значении Плоские волны, у которых фазовый фронт не совпадает с поперечной относительно направления распространения плоскостью, называются неоднородными.

Таким образом, выражение (2-14) можно трактовать при как непрерывный спектр неоднородных волн, распространяющихся вдоль оси с различными фазовыми скоростями.

При величина у становится действительной и волнообразного процесса в направлении оси не наблюдается. Имеет место спектр затухающих колебаний, т. е. колебаний, амплитуда которых уменьшается по экспоненте при удалении в обе стороны от плоскости Плоскости равных фаз этого спектра колебаний также не совпадают с плоскостям

Отметим еще, что при преобразовании формулы (2-8) можно было бы за ось распространения неоднородных воли принять ось у или ось х. Тогда были бы получены выражения, аналогичные выражению (2-14).

Имеет значительный интерес представление функции Грина цилиндрической системе координат. Обозначим цилиндрические координаты в пространстве волновых чисел через а цилиндрические координаты в физическом пространстве через Связь цилиндрических координат с прямоугольными устанавливается соотношениями:

с учетом которых выражение функции Грина (2-8) записывается в виде:

Для преобразования выражения (2-15) к более удобному виду воспользуемся известными разложениями

где - функции Бесселя с целым индексом.

Подставив (2-16) в (2-15) и используя условия ортогональности экспоненциальных функций:

будем иметь:

Переходя на плоскость комплексного переменного и применяя, так же как и выше, теорию вычетов, получим:

Если учесть известные соотношения:

где — функции Ганкеля второго рода с целым индексом, то выражение (2-18) может быть сведено с следующему:

В выражениях (2-18) и (2-20) перед радикалом нужно брать знак плюс при и знак минус при Эти выражения представляют собой бесконечный спектр плоскоцилиндрических волн, распространяющихся в направлении оси в обе стороны от плоскости Здесь так же, как это было отмечено выше, для волны

являются распространяющимися, а для экспоненциально затухающими. Выражения для спектральной плотности этих волн для являются разными, и это соответствует тому, что при поле должно быть конечным, а при оно должно удовлетворять принципу излучения на бесконечности, о чем речь будет идти позднее.

Функция Грина в цилиндрической системе координат может быть представлена и в другом виде. Действительно, если принять во внимание (2-19), то выражение (2-17) сведется к виду:

Переходя здесь на плоскость комплексного переменного х и вычисляя интеграл по к с помощью теории вычетов, получим:

где

В противоположность выражению (2-20) выражение (2-22) представляет собой бесконечный спектр цилиндрических волн, распространяющихся в радиальном направлении и модулированных по оси z. При спектр волн, для которых является распространяющимся, а спектр волн, для которых затухающим. Это видно из асимптотического поведения функции Ганкеля при больших значениях аргумента:

Остановимся попутно на выражениях -функций в координатах кругового цилиндра. Уравнение (2-12) в цилиндрических координатах запишется в виде:

Подставив сюда выражения (2-17) и имея в виду уравнение Бесселя

получим следующие выражения для -функций:

Перейдем теперь к представлению функции Грина (2-8) в сферической системе координат. Обозначим сферические координаты в пространстве волновых чисел через у., О, и, а сферические координаты в физическом пространстве через Связь сферических координат с прямоугольными имеет вид:

Выражение функции Грина (2-8) при этом запишется следующим образом:

где

Теперь преобразуем выражение функции Грина (2-24). Для этой цели воспользуемся разложениями [Л. 2]:

где - радиальная сферическая функция, связанная с функцией Бесселя соотношением полином Лежандра.

Из теоремы сложения для полиномов Лежандра следует, что

где присоединенные функции Лежандра.

Точно такое же выражение имеет место для Подставив (2-25) в (2-24) и имея при этом в виду следующие условия ортогональности:

и

получим:

где

Принимая далее во внимание, что

где — радиальные сферические функции первого и второго рода, связанные с функциями Ганкеля соотношением приведем (2-26) к виду:

Аналогичное выражение получается для с помощью замены на Произведем теперь интегрирование (2-27). Заметим, что волновое число в общем случае является комплексным. Полагая запишем:

Таким образом, в подыинтегральном выражении (2-17) на плоскости комплексного переменного и особые точки (полюсы) подынтегральной функции лежат во втором и четвертом квадрантах. Имея в виду характер асимптотического поведения функции при больших значениях аргумента, замкнем в (2-27) путь интегрирования по кругу бесконечного радиуса в нижней полуплоскости комплексного переменного и. Применив теорию вычетов, получим известное выражение функции Грина [Л. 3]:

где

Выражение (2-28) представляет собой бесконечный спектр волн, распространяющихся в радиальном направлении и модулированных по углам

Остановимся теперь на представлении трехмерной -функции в сферической системе координат. Уравнение (2-12) в сферической системе координат имеет вид:

Подставив сюда (2-26) и имея в виду дифференциальное уравнение сферических функций Бесселя

и дифференциальное уравнение присоединенных полиномов Лежандра

получим следующие выражения для -функций:

Можно было бы представить разложение функции Грина для свободного пространства (2-8) и в других системах координат, например в сфероидальной системе. Однако мы ограничимся только приведенными разложениями.

Представим, наконец, функцию Грина для свободного пространства в свернутом виде. Для этой цели воспользуемся выражением (2-24), в котором точку источника расположим в начале координат, а точку наблюдения — на полярной оси, т. е. положим Тогда

Если произвести замену переменной, положив то получим:

и, следовательно,

Полагая здесь волновое число комплексной величиной и замечая, что в подынтегральном выражении особые точки лежат во втором и четвертом квадрантах плоскости комплексной переменной х, дополним интеграл от первого слагаемого подынтегрального выражения исчезающим интегралом кругу бесконечно большого радиуса в положительной полуплоскости и, а интеграл от второго слагаемого подынтегрального выражения — исчезающим интегралом по кругу бесконечного большого радиуса в отрицательной полуплоскости х. Применив затем к полученному выражению теорию вычетов, найдем:

где — расстояние между точками

Формула (2-24а) представляет собой хорошо известное выражение для функции Грина в неограниченном пространстве в свернутом виде. Эта формула будет в дальнейшем часто использоваться.

До сих пор мы интересовались трехмерными функциями Грина. В ряде электродинамических задач приходится иметь дело с двумерной функцией Грина. Пусть распределение сторонних источников в некотором объеме V таково, что оно не зависит от одной из координат, скажем у. Тогда мы имеем дело с двумерным волновым уравнением, которое легко получить из (2-1), если устранить зависимость от переменной у. Выражения для составляющей векторного потенциала (2-7) и функции Грина (2-8) примут следующий вид:

где через обозначено поперечное сечение объема источников V плоскостью Интеграл по можно вычислить рассмотренным выше способом и получить вместо (2-8а) выражение, соответствующее (2-14):

Если обратиться к интегральному представлению для функции Ганкеля второго рода нулевого порядка, то можно представить двумерную функцию Грина в свернутом виде:

Здесь через обозначено расстояние между точками При решении граничных задач необходимо иметь в виду, что в том случае, когда распределение сторонних источников не зависит от одной из координат, а свойства граничной поверхности зависят от нее, следует пользоваться трехмерной функцией Грина.