10-1. ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим общее решение задачи о возбуждении электромагнитных волн между двумя идеально проводящими параллельными плоскостями. Плоскости будем полагать неограниченными, а источники электромагнитного поля — распределенными произвольным образом в объеме V между плоскостями.

Рис. 10-1. Параллельные идеально проводящие плоскости.

Прямоугольную систему координат выберем так, чтобы одна из проводящих плоскостей совпала с плоскостью а другаяс плоскостью (рис. 10-1). Конечно, к решению можно подойти различным образом, например найти выражения для векторных потенциалов электрических и магнитных сторонников токов, удовлетворяющих граничным условиям на поверхности Можно также воспользоваться выражениями, определяющими в декартовых координатах электрические и магнитные волны сторонних токов в свободном пространстве, и к ним добавить волны, отраженные от плоскостей Однако нам кажется удобным записать решение волновых уравнений для векторов электрического и магнитного поля (1 -26) и представить это решение в виде наложения электрических и магнитных волн. При этом в качестве продольной координаты мы выберем координату z.

Итак, рассмотрим решение неоднородных волновых уравнений:

Обратимся сначала к электрическим волнам и представим решение первого уравнения (10-1) в виде разложения по

собственным волнам поперечного сечения рассматриваемого волновода:

Здесь взято разложение в ряд Фурье по синусам, поскольку поле при должно удовлетворять нулевым граничным условиям; зависимость поля от координаты у имеет вид интеграла Фурье, поскольку у изменяется в бесконечных пределах.

После подстановки (10-2) в (10-1) получим:

Умножим левую и правую части уравнения (10-3) на комплексно сопряженные функции проинтегрируем по поперечному сечению волновода. При этом учтем,

Тогда для неизвестной истокообразной функции получится следующее дифференциальное уравнение:

Применив метод вариации произвольных постоянных, иайдем решение неоднородного уравнения (10-5), удовлетво

ряющее принципу излучения на бесконечности в направлении оси

Подставив теперь (10-6) в (10-2), получим окончательные выражения для продольной составляющей напряженности электрического поля:

В выражениях (10-8) и (10-9) верхние знаки перед у в показателе экспоненты берутся для а нижние — для

Аналогичное решение уравнения (10-1) получается и для продольной составляющей напряженности магнитного поля:

Однако теперь в отличие от выражений для электрических волн разложение поля по оси х производится по косинусам, поскольку граничные условия при сводятся к нулевым значениям нормальной производной продольной составляющей магнитного поля.

Представим далее поперечные составляющие напряженности электрического и магнитного поля в виде разложений:

Тогда аналогично (2-38) и (2-39) выразятся через продольные составляющие напряженности электрического и магнитного поля по следующим формулам: для электрических волн

для магнитных волн

В выражениях (10-16) и (10-17) верхние знаки перед у берутся для а нижние — для Формулы (10-7) — (10-17) позволяют найти поле между двумя идеально проводящими плоскостями при любом распределении сторонних электрических и магнитных токов. Из выражений (10-10) и (10-14) видно, что продольные составляющие электрических токов возбуждают только электрические волны, а продольные составляющие магнитных токов — только магнитные волны. Поперечные составляющие электрических и магнитных токов возбуждают в общем случае как электрические, так и магнитные волны. Полное электромагнитное поле в волноводе имеет вид бесконечного спектра пространственных гармоник (типов волн).

При действительная величина) типы волн являются затухающими, а при они являются распространяющимися в направлении продольной оси. Распространяющиеся типы волн являются быстрыми, поскольку для них

Рассмотрим пример. Зададим сторонний электрический ток в виде бесконечно тонкой синфазной полоски с косинусоидальным амплитудным распределением, т. е.

Тогда

Подставив (10-19) в (10-9) и произведя интегрирование, найдем:

Подставив теперь это выражение в (10-8), а затем в (10-7), получим:

Из уравнений (10-16) и (10-15) найдем поперечные составляющие поля:

Таким образом, сторонний ток вида (10-18) возбуждает только одну пространственную гармонику — электрический

тип волны с тремя составляющими поля: . Заметим, что для синфазной полоски тока продольная составляющая электрического поля исчезает и электрическая волна вырождается в ТЕМ волну.